第4章--数学规划模型

1、第4章 数学规划模型4.1 某饲养场用种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对种营养成分有一个最低标准。即对，要求第种营养成分在饲料中的含量不少于，若每单位第种原料中含第种营养成分的量为，第种原料的单价为，问应如何配制饲料才能使成本最低？解：模型假设：假设为每单位饲料中营养成分的最少含量 假设每单位第种原料中第种营养成分的百分比模型的建立：设为每单位饲料中第种原料的含量，其中由已知,目标函数为约束条件为: 工作工人1 2 3 4甲乙丙丁10 9 7 85 8 7 75 4 6 52 3 4 54.2拟分配甲、乙、丙、丁四人去干四项工作，每人干且仅干一项。他们干各项工作需用天数见右表，问应如何

2、分配才能使总用工天数最少。解：模型的建立与求解:记i=1,2,3,4分别表示甲乙丙丁四人,j=1,2,3,4分别表示工作1 2 3 4, 用表示i人干工作j。 1234110978258773546542345引入0-1变量x，若i人干j工作，则x=1，否则x=0。根据题目要求，四人干四项工作，每人干且仅干一项，可得以下约束条件： （1）=1 （2）=1当第i人干第j项工作时，表示所用天数，否则=0，所以甲乙丙丁分工干各项工作的总用工天数为，也即该问题的目标函数。综上，这个问题的0-1规划模型可写作：min z=st =1 j=1,2,3,4 =1 i=1,2,3,4 =0,1程序：将题目所给

3、数据带入上述模型，并输入lindo： min 10x11+9x12+7x13+8x14 +5x21+8x22+7x23+7x24 +5x31+4x32+6x33+5x34 +2x41+3x42+4x43+5x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1endint16计算结果为：=1，其余全为0，即甲做第三项工作，乙做第一项工作，丙做第四项

4、工作，丁做第二项工作，最少用工天数为20天。4.3 某校经预赛选出，四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？课程学生数学物理化学外语90859379958991857873888483807987解：模型的建立与求解:记i=1,2,3,4分别表示A、B、C、D四名学生,j=1,2,3,4分别表示数学、物理、化学、外语, 用表示i同学参加j功课考试。 1234190957883285897380393918879479858487引入0-

5、1变量x，若i同学参加 j功课考试，则x=1，否则x=0。根据题目要求，每人只能参加一门考试，且以团体总分计名次，不计个人名次，可得以下约束条件： （1）=1 （2）=1当第i同学参加第j功课考试时，表示所得成绩，否则=0，所以A B C D分别参加各门功课考试的总成绩为，也即该问题的目标函数。综上，这个问题的0-1规划模型可写作：max z=st =1 j=1,2,3,4 =1 i=1,2,3,4 =0,1程序：将题目所给数据带入上述模型，并输入lindo： max 90x11+95x12+78x13+83x14 +85x21+89x22+73x23+80x24 +93x31+91x32+8

6、8x33+79x34 +79x41+85x42+84x43+87x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1endint16计算结果为：=1，其余全为0，即A参加物理考试，B参加数学考试，C参加化学考试，D参加外语考试，按选拔时的成绩总分最大值为355。4.4 某工厂生产两种标准件，A种每个可获利0.3元，B种每个可获利0.15元。若该厂

7、仅生产一种标准件，每天可A种标准件800个或B种标准件1200个，但A种标准件还需某种特殊处理，每天最多处理600个，A，B标准件最多每天包装1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能使每天获利最大。4.5 将长度为500cm的线材截成长度为78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任务的前提下，应如何截切，使得留下的余料最少？解：模型的建立与求解:材料的切割模式有如下:模式78cm98cm余料160322511233270423505143060510设按第i种模式切割的线材个数为,i=1,2,3,4,5,6由已知,目标函数为min z=32+12+7

8、0+50+30+10约束条件为: 6+5+3+2+01000 0+2+3+4+52000运用lindo软件求解得: =200, =360, =0即按第二种模式切200根,按第六种模式切360根，最少余料为6000cm。4.6 某厂有原料甲、乙，生产四种产品A，B，C，D，各参数如下表：（1）求总收入最大的生产方案；（2）当最优生产方案不变时，分别求出A，B，C，D的单价的变化范围；（3）当最优基不变时，分别求出原料甲、乙的变化范围。单位消耗产品原料A B C D限额（公斤）甲乙3 2 10 40 0 2 0.518 3单价（万元/万件） 9 8 50 19解：模型的建立与求解:(1) 设A,B

9、,C,D四种产品的生产量分别是,(单位:件)该问题的目标是使总收入最大,目标函数可简记为max z=9+8+50+19约束条件为甲乙原料的限额,即: 3+2+10+418 2+0.53运用lindo软件求解得: =0,=1,=2,此时目标函数最大值为88,即可获88元收入。 （2）运用lindo软件有如下运算结果： VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 9. 4. INFINITY X2 8. 0. INFINITY X3 50. 2. 2. X4 19. 1. 0. 即在最优生产方案不变时，A产品单价变化

10、范围为（0，13），B产品单价变化范围为（0，8.7），C产品单价变化范围为（47.5，52），D产品单价变化范围为（18.5，20） （3）运用lindo软件有如下运算结果： ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 18. 6. 3. 3 3. 0. 0. 即在最优基不变时，甲材料的变化范围是（15，24），乙材料的变化范围是（2.25，3.6）4.7 某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：加工时数机床产品甲 乙 丙 丁单 价

11、（百元/件）AB2 1 4 02 2 0 123有效时数 240 200 180 140（1）求收入最大的生产方案；（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。产品A B有效时数精加工时间2 2.4248解：模型的建立与求解:(1)设A,B两种产品的生产量分别是, (单位:件)该问题的目标是使总收入最大,目标函数可简记为max z=2+3由已知约束条件为各机床的有效时数,即: 2+2240 +2200 4 180

12、 140 运用lindo软件求解得: =40,=80,此时目标函数最大值为320,即可获32000元收入。 即当生产40件A产品,80件B产品时,可以获得最大收入。(2) 设C产品的生产量为目标函数改变为max z=2+3+0 约束条件改变为: 2+2+3240 +2+2200 4 +4180 +3140VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 2. 1. INFINITY X2 3. INFINITY 3. X3 0. 3. INFINITY可知,C产品的价格变化在(0,3)之间时,生产方案不变,所以,当C产

13、品的价格大于300元时,方可投入生产。当C产品的价格是400元时，目标函数变为max z=2+3+4，约束条件不变 运用lindo软件求解得: =16,=68, =24，此时目标函数最大值为332,即可获33200元收入。 即当生产16件A产品,68件B产品，24件C产品时,可以获得最大收入。（3）增加机床戊后，目标函数不变，约束条件增加一个，即2+2.4248 运用lindo软件求解得: =10,=95,此时目标函数最大值为305,即可获30500元收入。 即当生产10件A产品,95件B产品时,可以获得最大收入。4.8 已知某厂生产有关参数：单位消耗产品原料A B C D E限额（公斤）甲乙

14、丙0.1 0 0.2 0.3 0.10.2 0.2 0.1 0 0.30 0.3 0 0.2 0.1600500300单价（元）4 3 6 5 8（1）求最优生产方案；（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案；（3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案；（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。解：模型的建立与求解：(1) 设A,B,C,D，E四种产品的生产量分别是， (单位:件) 该问题的目标是使总收入最大,目标函数可简记为max z=

15、4+3+6+5+ 约束条件为甲乙丙原料的限额,即: 0.1 +0.2+0.3+0.1600 0.2+0.2+0.1 +0.3500 0.3 +0.2+0.1300 运用lindo软件求解得: =0,=2600,=800,此时目标函数最大值为22000。 即最优生产方案为生产C产品2600件，生产E产品800件，其余产品不生产。 （2）目标函数不变，约束条件增加一个，即：500 运用lindo软件求解得: =500，=0,=2500,=500,此时目标函数最大值为21000。 即相应生产方案为生产C产品2500件，生产A产品、E产品500件，其余产品不生产。 （3）目标函数变为：max z=4+

16、3+6+5 约束条件为：0.1 +0.2+0.3600 0.2+0.2+0.1 500 0.3 +0.2300 运用lindo软件求解得: =0, =1000，=3000, ,此时目标函数最大值为21000。 即相应生产方案为生产C产品3000件，生产B产品1000件，其余产品不生产。（4）目标函数不变，约束条件增加一个，即：1640 运用lindo软件求解得: =1050，=629，=1640,=556, =0 即相应生产方案为生产A产品1050件，生产B产品629，生产C产品1640件，生产D产品556件。（5）目标函数不变，约束条件改变一个，即：0.1 +0.2+0.3+0.1550 运

17、用lindo软件求解得: =960，=720，=1640,=420, =0 即相应生产方案为生产A产品960件，生产B产品720，生产C产品1640件，生产D产品420件。（6）目标函数不变，约束条件增加两个，即：1000，200 运用lindo软件求解得: =1000，=250， =2500, =0,此时目标函数最大值为19750。 即相应生产方案为生产A产品生产1000件，B产品生产250件，C产品2500件，其余产品不生产。4.9 要从宽度分别为3m和5m的型和型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5m，2.1m和2.7m的型、型和型三种卷纸3000m，10000m和6

18、000m。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。解：模型假设：假设切割出的卷纸每种型号的必须是连着的模型的建立与求解：切割模式已知时，很容易计算出浪费的标准卷纸的面积切割模式如下：模式余料1 ，1.5*3000+0.2*10000+2.7*4000=173002，0.9*10000+0.8*6000+1.5*3000=183003，0.3*6000+1.4*10000+1.5*7000=26300所以应该按第二种模式切，即型卷纸用型标准纸切割，型卷纸用型标准纸切割。4.10 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证

19、券的收益可以免税，其他证券的收益需按50的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5试解答下列问题：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5，投资应否改变？若证券C的税前

20、收益减少为4.8，投资应否改变？4.11 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：910 1011 1112 121 12 23 34 45时间段（时）服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有

21、限制，每天可以减少多少费用？4.12 一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15的保姆自动离职。（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。4.13 某公司将

22、4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨，产品A，B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？4.14. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？4.15 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，