函数的奇偶性和周期性讲义

1、学科培训师辅导讲义学员编号年 级高一课时数 2学员姓名辅导科目数学学科培训师周老师课 题函数的基本性质奇偶性和周期性备课时间2014年08月27日授课时间2014年08月28日教学内容（一） 主要知识：1奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；2偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，都有，那么函数就叫做偶函数3图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数

2、的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数4奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性为偶函数若奇函数的定义域包含，则5函数的周期性：(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期三条结论：(1)若对于R上的任意的

3、x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(x)或f(xa)）或f(xa)），那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.（二）主要方法：1判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；图象法；性质法：设，的定义域分别

4、是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（3） 典例分析1下列函数中，在其定义域内即是奇函数又是减函数的是（ ）ABCD2若函数为偶函数，则a=（ ） ABCD3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f（-）( )A. B. C. D.解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f（-）f（）f（）.故选A.答案 A4f(x)x的图象关于( )Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析： f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x

5、)(x)f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案 C5设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数解析：由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶偶偶；B项：偶偶偶，B错；C项与D项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选A.答案 A6对于函数f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析 ：f(1

6、)asin 1bc，f(1)asin 1bc且cZ，f(1)f(1)2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案 D7若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析： 法一 f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.法二 由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案0 8已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为( )A1 B1 C0 D无法计算解析 由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义

7、在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案 C 9已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)尝试解答 由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f

8、(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)故选D.答案 D 10判断下列函数的奇偶性： （1） （定义域不关于原点对称，非奇非偶）（2） 解：定义域为： 所以 ，是奇函数。 （3） 解法一：当， 当， 所以，对，都有， 所以是偶函数 解法二：画出函数图象 解法三：还可写成，故为偶函数。 （4） 解：定义域为，对，都有，所以既奇又偶 变式训练：判断函数的奇偶性。 解：当时，是偶函数 当时，即， 且，所以非奇非偶小结与拓展：几个常见的奇函数： （1） （2） （3） （

9、4）小结与拓展：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件11已知定义在上的函数，当时， （1）若函数是奇函数，当时，求函数的解析式； （2）若函数是偶函数，当时，求函数的解析式； 解：（1） （2）变式训练：已知奇函数，当时，求函数在R上的解析式； 解：函数是定义在R上的奇函数， ， 当时， ， 小结与拓展：奇偶性在求函数解析式上的应用12设函数是定义在R上的奇函数，对于都有成立。 （1）证明是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值。证明：（1） 所以，是周期函数，且（2）， 变式训练1：设是上的奇函数，当时，则等于 ( ) A . 0.5 B. C. 1.5 D. 变式训练2：（06安徽

10、）函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。小结与拓展：只需证明，即是以为周期的周期函数课后作业1、 判断下列函数的奇偶性：（1） (2)f(x)x2|xa|2. 2、 若是定义在上的奇函数，则=_；若是定义在上的奇函数，且对一切实数都有，则=_；设函数且）对任意非零实数满足，则函数是_（指明函数的奇偶性）3、设是上的奇函数，且当时，那么当时，=_4、图象关于对称，当时，求当时的表达式5、 设函数的最大值为，最小值为，则与满足（ ）ABCD6、函数为奇函数，则的取值范围是（ ）A或 B或C D7、已知为上的奇函数，且在上是增函数求证：在上也是增函数；若，解不等式，8、已知=为奇函数,当 0时