2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式本章整合课件选修.pptx

1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一利用平均值不等式解决实际问题 利用平均值不等式来解决实际问题是不等式的一个重要应用.在使用平均值不等式性质的过程中,一定要确定自变量的范围,在满足“一正”“二定”“三相等”的情况下进行应用,要特别注意等号取得的条件以及是否符合其实际意义.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用 某住宅小区,为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛,造价为4 200 元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩

2、地坪,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2. (1)设总造价为S元,AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系式; (2)至少要投多少元,才能建造这个休闲小区?,专题一,专题二,专题三,专题四,提示:这是一道建筑工程类问题,解决本题突破点是将总费用分成三部分:(1)建花坛MNPQ的费用;(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用;(3)草坪费.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二不等式中的恒成立问题 关于不等式的恒成立问题,一般要转化为求函数的最值问题,例如:要使f(x)a恒成立,那么我们只需求出f(x)的最小值f(x)min,如果a比这个最小值还小,那么这个式子就恒成立,

3、即f(x)a恒成立f(x)mina.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用 设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)a,当a为何值时,不等式的解集为R? 提示:我们只需求出左边整体的式子的最值,然后利用上述规律即可. 解:|x+3|+|x-7|x+3-(x-7)|=10, 当且仅当-3x7时等号成立. 令f(x)=lg(|x+3|+|x-7|), 则f(x)=lg(|x+3|+|x-7|)lg 10=1. 所以要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集为R,只需a1.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三不等式与解析几何的联系 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系,则可根据已

4、知的结构挖掘出它的几何背景,通过构造几何模型,化数为形,利用数学模型的直观性,将不等式表达的抽象数量关系转化成直观的图形加以解决.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四证明不等式的其他方法 1.构造函数法 在含有两个或两个以上的参数的不等式中,可视其中一个为自变量,一个为函数值,利用函数的性质来证明或求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1 设a,b,c0,2,求证:4a+b2+c2+abc2ab+2bc+2ca. 提示:把a视为自变量,可构造函数,求其最值. 证明:视a为自变量,构造一次函数 令f(a)=4a+b2+c2+abc-2ab-2bc-2ca

5、=(bc-2b-2c+4)a+(b2+c2-2bc). 由0a2知f(a)表示一条线段. 又f(0)=b2+c2-2bc=(b-c)20, f(2)=b2+c2-4b-4c+8=(b-2)2+(c-2)20. 可见上述线段在x轴及其上方. f(a)0, 即4a+b2+c2+abc2ab+2bc+2ca.,专题一,专题二,专题三,专题四,2.判别式法 判别式法是根据已经构造出的一元二次方程、一元二次函数或一元二次不等式的解集等特征,确定出其判别式所满足的不等式,从而推出欲证的不等式的方法.,专题一,专题二,专题三,专题四,提示:一般地,可以变形转化为某变量的一元二次方程的形式,且变量允许在实数集

6、内的问题都能利用判别式法解决.但应注意对二次项系数的讨论.,专题一,专题二,专题三,专题四,3.换元法 换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的.,提示:利用三角换元,转化成三角函数的相关知识来解.,1,2,3,4,5,1(2016全国乙,理24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图像; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2(2016全国丙,理24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集. (2)设函数g(x)=|2x

7、-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围. 解: (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| |2x-a+1-2x|+a =|1-a|+a,1,2,3,4,5,当x= 时等号成立,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (分类讨论) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+).,1,2,3,4,5,f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,1,2,3,4,5,(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,1,2,3,4,5,4(2015课标全国,理24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:,1,2,3,4,5,