李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案

1、.第 5 章复 与思考 1、用高斯消去法 什么要 主元？哪些方程 可以不 主元？答：使用高斯消去法 ，在消元 程中可能出 akkk0 的情况， 消去法无法 行；即 主元素 akkk0 ，但相 很小 ，用其做除数，会 致其它元素数量 的 重增 和舍入 差的 散， 最后也使得 算不准确。因此高斯消去法需要 主元， 以保 算的 行和 算的准确性。当主 角元素明 占 （ 大于同行或同列的元素） ，可以不用 主元。 算 一般 列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系？用它 解 性方程 Ax = b 有何不同？ A 要 足什么条件？答：高斯消去法 上 生了一个将A 分解 两个三角形矩 相乘的因

2、式分解，其中一个 上三角矩 U，一个 下三角矩 L。用 LU 分解解 性方程 可以 化 算，减少 算量，提高 算精度。A 需要 足的条件是， 序主子式（1,2， ，n-1）不 零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么 点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩 L 的 角元素 正 ，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种 性方程 可用平方根法求解？ 什么 平方根法 算 定？具有 称正定系数矩 的 性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解 程中元素的数量 不会增 ， 切 角元素恒 正数， 因此， 是一个 定的算法。5、什么 的 性方程 可用追赶法求解并能保 算 定？ 角占 的三 角方

3、程 6、何 向量范数？ 出三种常用的向量范数。向量范数定 p53，符合 3 个运算法 。正定性 次性三角不等式设 x 向量， 三种常用的向量范数 ：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）n| x |1| xi |i 1n1| x |2(xi2 ) 2i 1| x |max | xi |1 in7、何 矩 范数？何 矩 的算子范数？ 出矩 A = (ai j)的三种范数 | A|，| A|2，|11 / 25.A| ，| A| 1 与 | A| 2 哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有| A |1| A |2|

4、 A |从定义可知， | A |1 更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设 A 为非奇异阵，称数 cond(A) v A 1vA v（ v 1,2,）为矩阵 A 的条件数当 cond(A) ?1时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（ 1）矩阵行列式的值很小。（ 2）矩阵的范数小。（ 3）矩阵的范数大。（ 4）矩阵的条件数小。（ 5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（ 1）、（ 2）注：矩阵的条件数小说明A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A 非奇异，则用顺序消去法或直接LU

5、 分解可求得线性方程组Ax = b 的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。（ 2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（ 3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果 A 非奇异，则Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的决定的。答：正确。解释：若A|b 与 A 的秩相同，则A 有唯一解。若不同，则A 无解。（ 5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（ 6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（ 7）奇异矩阵的范数一定是零。2 / 25.答：错误，?可以不为 0。（8）如果矩阵对称，则|A| 1 = | A| 。答：根据范数的定义

6、，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。（ 10）在求解非奇异性线性方程组时， 即使系数矩阵病态， 用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11） | A | 1 = | AT | 。答：根据范数的定义，正确。（12）若 A 是 nn 的非奇异矩阵，则cond( A)cond( A 1 ) 。答：正确。 A 是 nn 的非奇异矩阵，则A 存在逆矩阵。cond( A)A ? A 1根据条件数的定义有：cond( A 1 )A 1 ? (A 1 ) 1A 1 ? AA ? A 13 / 25

7、.习题1、设 A 是对称阵且 a110，经过高斯消去法一步后，a11a1TA 约化为，证明 A2 是对0A2称矩阵。证明：a11a12.a1na12a22.an 2，则经过 1 次高斯校区法后，有设对称矩阵 A. . . .a1na2 n.anna11a12.a1n0a22a12a12.an2a1na12A(1)a11a11.0a2na1na12.anna1na12a11a11a11a12.a1n0a22a12 a12.an2a12 a1na11a11.0an 2a1n a12.anna1n a1 na11a11所以 a1T a12 .an 2 a22a12 a12.an2a12a1na11a

8、11A2.aa1 n a.anna1nan 212a111na11所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 A ( aij)n ，其中 A(aij ) n ，A2 (aij(2) )n1 ；证明：（ 1）A 的对角元素 aii0 (i1,2,L, n) ；（ 2） A2 是对称正定矩阵；（ 1）依次取 xi(0,0,0,1,0,0) T , i1,2, n ，则因为 A 是对称正定矩阵，i4 / 25.所以有 aiixT Ax0 。（ 2） A2 中的元素满足 aij( 2 )aijai1 a1 j2,3, , n) ，又因为 A 是对称正定, (i

9、 , ja11矩阵，满足 aij a ji , i , j1,2, n ，所以 aij( 2)aijai 1a1 ja jia1i a j1a11a(ji2) ，a11即 A2 是对称矩阵。3、 Lk 指 k 的初等下三角矩 （除第 k 列 角元以下元素外，Lk 和 位 I相同），即1.1Lkmk 1,k1.mn, k1求 当 i, jI ij LkI ij 也是一个指 k 的初等下三角矩 ，其中I ij 初等置 k ， Lk矩 。4、 推 矩 A 的 Crout 分解 A=LU 的 算公式，其中 L 下三角矩 ， U 位上三角矩 。本 不推 。参 上例 。P147 。5、 Uxd ，其中 U

10、 三角矩 。（ 1）就 U 上及下三角矩 推 一般的求解公式，并写出算法（ 2） 算解三角方程 Ux d 的乘除法次数（ 3） U 非奇异矩 ， 推 求 U 1 的 算公式本 考 求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始， 逐步 算 n-1,1 的求解公式。解法，略。6、 明：（1）如果 A 是 称正定矩 ， A 1 也是 称正定矩 （2）如果 A 是 称正定矩 ， A 可以唯一地写成ALT L ，其中 L 是具有正 角元的下三角矩 均是 称正定矩 的性 。 予以 住。7、用列主元消去法解 性方程 5 / 25.12x13x23x31518x13x2x315x1x2x36并求出系数矩阵A 的

11、行列式的值1233A1831111123315A | b1831151116使用列主元消去法，有123315A | b183115111618311512331511161831150175307173161861831150717316186017531831150717316186006666217A 的行列式为 -666 / 25.方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解1 x11 x21 x394561 x1 x1 x83142531x1x22x382本题考查LU 分解。解：111456111A4531122100L1103

12、1112111456U011136090009575409、用追赶法解三对角方程组Axb ，其中210001121000A01210， b0 。001210000120解：追赶法实际为LU 分解的特殊形式。设U 为、单位上三角矩阵。有（1）计算i 的递推公式7 / 25.1c1 / b11/ 20.52c2/ (b2a21 )1/ (2(1)(0.5)2 /33c3 / (b3a32 )1/ (2(1)(2 / 3)3 / 44c4/ (b4a43 )1/ (2(1)(3 / 4)4/ 5（ 2）解 Ly=fy1f1 / b11/ 2y2( f2a2 y1) / (b2a21)(0(1)(1/

13、 2) / (2(1)(0.5)1/ 3y3( f3a3 y2 ) / (b3a32 )(0(1)(1/ 3) / (2(1)(2 / 3)1/ 4y4( f4a4 y3 ) / (b4a43 )(0(1)(1/ 4) / (2(1)(3 / 4)1/ 5y5( f5a5 y4 ) / (b5a54 )(0(1)(1/ 5) / (2(1)(4 / 5)1/ 6（ 3）解 UX=yx5y51/ 6x4y44 x51/ 5 ( 4 / 5) 1/ 6 1/ 3x3y33 x41/ 4 ( 3 / 4) 1/ 3 1/ 2x2y22 x31/ 3 ( 2 / 3) 1/ 2 2 / 3x1y11x

14、22 ( 1/ 2) 2 / 3 5 / 610、用改进的平方根法解方程组211x14123x25 。131x36本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见 P157x1 10 , x27 , x323 。99911、下列矩阵能否分解为LU （其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。123111126A 24 1 ， B22 1 ， C 25 15。467331615468 / 25.LU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的

15、LDU 可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆， LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k 的矩阵的前k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU 分解，但反之则不然。解：因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10 ，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设0.60.5A，0.10.3计算 A 的行范数，列范数，2- 范数及 F- 范数。本题考查的是矩阵范数的

16、定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82- 范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。AT A 的最大特征值为0.3690所以 2- 范数为 0.6074F- 范数 0.842613、求证：（a） xx 1 n x；（b） 1AFA 2A F 。n根据定义求证。nxmax xix 1xin max xi n x 。1i ni 11 i n1 A F1naij22nn i , j12max ( AT A)A 214、设 PRnn 且非奇异，又设x 为 Rn 上一向量范数，定义 x pPx 。试证明 x p 是9 / 25.Rn 上向

17、量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 x pPx0 ， cx pPcxc Pxc x p 、x1 x2 pP( x1x2 )Px1Px2Px1Px2x1 p x2 p ，从而 x p 是 Rn上向量的一种范数。15、设 ARn n 为对称正定，定义1xA( Ax, x) 2，试证明x A 是 Rn 上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。1xT Ax显然 x A( Ax, x)20 ，11cx A( Acx,c x) 2c2 ( xT Ax)c( Ax, x) 2c x A1x2 )T A( x1x

18、1x2 A( A(x1x2 ),( x1 x2 ) 2( x1x2 )x1T Ax1x2T Ax2x1 Ax2 A16、设 A 为非奇异矩阵，求证1minAy。1yAy 0因为 A 1A 1 xmaxA 1 xmaxy1maxxAA 1 x，x 0x 0y A 1x 0 AyminAyy 0y所以得证1Ay1minAy 0y17、矩阵第一行乘以一数，成为A2，证明当2时， cond (A)有最小值。113本题考查条件数的计算cond( A)A 1A首先计算A 的逆阵10 / 25.11A 112A2| 3|22|3| 3|2 ，当3，取得最小值为 2A 11|2| |，当取值越大，则最小值为2

19、从而 cond ( A)A 1A( 12)max 3,2 ，又当2 时，3cond ( A)( 12)max 3,2( 32) 27 。2当 2 时，3cond ( A)( 12)max 3,2( 12)3367 。综上所述，( )7时最小，这时2 ，即2 。cond A3310099，计算 A的条件数 cond ( A) v(v2,)18、设 A9899由 A10099可知， A 19899，从而999899100( A 1 )T ( A 1 )989998991940519602 ，99100991001960219801由 I( A 1 )T ( A1 )1940519602239206

20、1 0 ，1960219801AT A10099100 991980119602 ，999899981960219405由 IAT A198011960223920610 ，196021940511 / 25.可得 A 2 A 1219603384277608，从而cond( A) 2A 12A 2 19603 384277608 39206 。A 1199， A199 ，从而 cond( A)A 1A199 19939601。19、证明：如果A 是正交矩阵，则 cond (A) 21若 A 是 正 交 阵 ， 则 A 1AT ， 从而 AT AI ， ( A 1 ) T A 1AA 1I ，

21、 故A2A 11， cond( A) 2A 1A21。2220、设,Rn n，且 ? 为 Rn n 上矩阵的算子范数，证明：A Bcond ( AB)cond ( A)cond ( B)cond ( AB)( AB) 1 ABB 1 A 1ABB 1 A 1 A B( A 1 A )( B 1B ) cond ( A)cond ( B)21、设 Axb ，其中 A 为非奇异矩阵，证明：（1） AT A 为对称正定矩阵；（2） cond ( AT A)(cond ( A) 2 )2x( AT A)x( Ax)T Ax b20 ，所以 AT A 为对称正定矩阵。(cond ( A)2 ) 2max

22、( AT A)min( AAT )由于 AT A 为对称正定矩阵，所以AT AAAT12 / 25.cond ( AT A) 2AT A( AT A) 122TTTmax( A A) ( A A)TTTmin( A A)( A A) )TTTmax( AA ) ( A A)TTTmin( AA )( A A) )max( AT AAT A)则min( AAT AAT )T2max( A A)T2min( AA )Tmax( A A)Tmin( AA )(cond ( A) 2 ) 213 / 25.第 7 章复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若 f ( x) C

23、 a,b 且 f ( a) f (b)0 ，根据连续函数性质可知f ( x) 0 在 a,b 内至少有一个实根，这时称 a,b 为 f ( x)0的有根区间。2.什么是二分法？用二分法求f ( x) 0的根， f 要满足什么条件？P213一般地，对于函数 f (x) 0 如果存在实数c,当 x=c 时，若 f (c)0 ,那么把 x=c 叫做函数f ( x)0 的零点。解方程即要求f (x)0 的所有零点。假定 f(x) 0 在区间（ x， y）上连续，先找到a、 b 属于区间（ x， y），使 f (a) f (b)0 ，说明在区间 (a,b)内一定有零点，然后求f (ab) / 2) ,现

24、在假设 f (a)0, f (b)0, ab 果f (a b) / 2) 0 ，该点就是零点，如果f (a b) / 2) 0 ,则在区间 (a b) / 2), b 内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。如果 f (ab) / 2)0 ，则在区间 a,(ab) / 2) 内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数(x)0 的不动点？如何确定( x) 使它的不动点等价于f (

25、 x) 的零点P215.将方程 f ( x)0 改写成等价的形式x(x) ，若要求 x * 满足 f ( x*)0 ，则 x*( x*) ；反之亦然，称x* 为函数( x) 的一个不动点。4.什么是不动点迭代法？(x) 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于( x) 的不动点P21514 / 25.求 f (x)0 的零点就等价于求(x)的不动点， 选择一个初始近似值x0 ，将它代入 x(x)的右端，可求得x1(x0 ) ，如此反复迭代有xk 1(xk ), k0,1,2,. ，( x) 称为迭代函数，如果对任何x0 a,b ，由 xk 1(xk ), k0,1,2,. 得到的序

26、列xk有极限limxx *， 则 称 迭 代 方 程 收 敛 ， 且x*( x*)为( x) 的 不 动 点 ， 故 称kkxk 1(xk ), k0,1,2,. 为不动点迭代法。5. 什 么 是 迭 代 法 的 收 敛 阶 ？ 如 何 衡 量 迭 代 法 收 敛 的 快 慢 ？ 如 何 确 定xk1(xk )( k 0,1,2,.) 的收敛阶P219设 迭 代 过 程 xk 1( xk ) 收 敛 于 x(x) 的 根 x * ， 如 果 当 k时 ， 迭 代 误 差ekxkx *满足渐近关系式ek1C , Cconst 0ek p则称该迭代过程是p 阶收敛的，特别点，当p=1 时称为线性收

27、敛，P1 时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解f ( x)0 的牛顿法？它是否总是收敛的？若f ( x*)0 ， x * 是单根，f 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：xk 1xkf ( xk )f ( xk )当 | f( xk ) | 1时收敛。7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618 小于牛顿法2计算量弦截法 牛顿法（减少了倒数的计算量）15 / 25.8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法

28、？P229设已知方程f ( x)0 的三个近似根， xk , xk 1, xk 2 ，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取 p2（x）的一个零点 xk 1 作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶 1.840 大于弦截法 1.618，小于牛顿法 2 可用于所想是的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求解 n 维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（ 1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（ 2）牛

29、顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（ 3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（ 4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（ 5）求多项式 p(x) 的零点问题一定是病态的问题（错误）（ 7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（ 8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9）不动点迭代法xk 1( xk ) ，其中 x*( x*) ，若 |(x*) | 1 则对任意处置x0 迭代都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）16 / 25.习题1、用二分法求方程 x2x 10 的正根，要求误差0.05 。 解 令 f ( x)x 2x1，则 f (0)1， f (2)1

30、，所以有根区间为0,2 ；又因为 f(1)1 ，所以有根区间为1,2；f (1.5)1.521.5 10.25 ，所以有根区间为1.5,2 ；f (1.75)1.7521.75150 ，所以有根区间为1.5,1.75 ；16f (1.625)1.62521.625110 ，所以有根区间为1.5,1.625 ；64f (1 9 )(1 9 ) 21 91310 ，所以有根区间为1 9 ,1.625；16161625616取 x*1 (1 91 5 ) 1191.59375 ，216832这时它与精确解的距离1 (1.6251 9 )10.05 。216322. 为求方程 x3x 210 在 x0

31、1.5 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1） x11/ x 2 ，迭代公式 xk111/ xk2 ；2） x31x2，迭代公式 xk13 1xk2；3） x21，迭代公式 xk11/xk1 ；x1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 解 1 ）设 ( x)11，则(x)2，从而216，所以x2x3(1.5)311.527迭代方法局部收敛。2 x(122）设 ( x)3 1x2，则(x)x2 ) 3 ，从而322161.5(11.52)33，所以迭代方法局部收敛。(1.5)1316917 / 25.11 ( x 1)3133）设

32、 ( x)，则( x)2，从而 (1.5)( 0.5) 22 1，x122所以迭代方法发散。x 33 x2 ( x314）设 ( x)1 ，则( x)1) 2，从而2(1.5)31.5(19)281291，所以迭代方法发散。383. 比较求 ex 10x 2 0 的根到三位小数所需的计算量：1）在区间 0,1 内用二分法；2 ）用迭代法 xk1(2exk ) /10 ，取初值 x0 0 。 解1 ）使用二分法，令 f ( x)ex10 x2 ，则f (0)1， f (1)e8 ，有根区间为 0,1；f (0.5)e0.530 ，有根区间为 0,0.5；f (0.25)e0.250.50 ，有根区间为0,0.25；f