1.1.3四种命题间的相互关系

1、,1.1.3 四种命题相互关系,、互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定.其中一个叫原命题 ，另一个叫原命题的否命题,、互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定. 其中的一个命题叫做原命题 ，另一个叫做原命题的逆否命题,、互逆命题： 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题。另一个命题叫做原命题的逆命题。,三个概念,你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?,1、四种命题之间的 关系,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命

2、题 若p则q,逆否命题 若q则p,互逆,互否,互否,互逆,互为 逆否,2）原命题：若a=0, 则ab=0。,逆命题：若ab=0, 则a=0。,否命题：若a 0, 则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四种命题的真假,看下面的例子：,1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。,逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。,逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3) 原命题：若a b, 则 ac2bc2。,逆命题：若ac2bc2,则ab。,否命题：若ab

3、,则ac2bc2。,逆否命题：若ac2bc2,则ab。,（假）,（真）,（真）,（假）,一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：,四种命题的真假性之间的关系：,两个命题互为逆否命题，它们同真同假； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.,想一想？,（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假。,(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假没有关系。,（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。,总结：,四种命题,原命题,逆命题,否命题,逆否

4、命题,真假一致,真假 一致,若 p则 q,若 q则 p,若p则q,若q则p,练一练,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。,答：0个、2个、4个。,如：原命题：若AB=A, 则AB=。,逆命题：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,例题讲解,例1：设原命题是：当c0时，

5、若ab, 则acbc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。,解：逆命题：当c0时，若acbc, 则ab.,否命题：当c0时，若ab, 则acbc.,逆否命题：当c0时，若acbc, 则ab.,（真）,（真）,（真）,分析：“当c0时”是大前提，写其它命题时应该保留。,原命题的条件是“ab”，,结论是“acbc”。,例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。,分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。,解：逆命题：若m+n0，则m0或n0。,否命题：若m0且n0, 则m+n0.,逆否命题：若m+n0,

6、 则m0且n0.,（真）,（真）,（假）,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。,3.反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。,反 证 法,证： 假设 不妨设_时,则_, x2+y20与 x2+y2=0矛盾, 所以假设不成立, 从而_成立。,x、y中至少有一个不为0,x 0,x2 0,例3 证明：若x2+y2=0, 则,x =y=0,x =y=0。,反证法证明,证： 假设_或_, 由于_时,_,

7、与 (x-a)(x-b)0矛盾, 又_时,_, 与(x-a)(x-b)0矛盾, 所以假设不成立, 从而_。,x=a,x=b,x=a,(x-a)(x-b)=0,x=b,(x-a)(x-b)=0,x a且x b,用反证法证明,若(x-a)(x-b)0,则x a且x b.,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.,求证：弦AB、CD不被P平分.,分析：假设弦AB、CD被P平分，连接OP后，可以推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.,证明: 假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有,OPAB，OPCD，,即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾.,所以，弦AB、CD不被P平分.,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中