考点9正弦定理和余弦定理

1、圆学子梦想铸金字品牌温馨提示：此题库为 Word版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点 9正弦定理和余弦定理1. （ 2010天津高考理科7）在 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若 a2b23bc ，sin C 2 3 sin B ，则 A=()（A）30（ B）60（C）120（D ）150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化 .【规范解答】选 A. 根据正弦定理及 sin C 2 3 sin B 得： c 2 3b .，【方法技巧】根据

2、所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角.2. （ 2010北京高考文科 7）某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()（ A） 2sin2cos2（ B） sin3 cos3（ C） 3sin3 cos1（ D） 2sincos1【命题立意】 本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识.【思路点拨】 在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和 .【规范解答】 选 A. 等腰三角形的底边长为12122 1 1 cos22co

3、s . 所以班徽的面积为4 1 1 1sin(2 2cos )22sin22cos .2- 1 -圆学子梦想铸金字品牌3.（2010湖南高考理科 4）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为a,b,c ，若 C=120， c2a ,则（）(A)ab(B)ab(C)a=b(D)a与 b 的大小关系不能确定【命题立意】 以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生运用知识和等价转化的能力 .【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】 选 A. C=120， c2a ， 2a2=a2+b2bb-2abcos120 ， a2=b2+ab，（）

4、 2+ a -1=0 ，ab51 a =21， ba.【方法技巧】 三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点. 常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解, 尤其是均值不等式的考查 .4. （ 2010北京高考理科0）在 ABC中，若 b = 1， c =3，C2，则 a=.3【命题立意】 本题考查利用三角形中的余弦定理求解.【思路点拨】 对 C 利用余弦定理，通过解方程可解出a .【规范解答】 由余弦定理得，2222，解得 a 1a 1 （舍）.a12 a 1 cos3，即aa 20或23B323C1A【答案】 1【方法技巧】已知两边及一角求

5、另一边时，用余弦定理比较好.5. （ 2010广东高考理科 11）已知 a,b,c 分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinC=.【命题立意】本题考查正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】 由已知条件求出B ， A 的大小，再求出C ，从而求出 sin C.【规范解答】 由 A+C=2B及 A BC 180o 得 B60o ，由正弦定理得13解 得 sin A1，sin Asin 60o ，2由 a b 知 A B60o ，所以 A30o ， C 180oA B 90 o ，所以 sin Csin 90 o1.【答案】 1- 2 -圆学

6、子梦想铸金字品牌6. （ 2010山东高考理科15）在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a，b，c，若 a2 ， b2 ，sin Bcos B2 ，则角 A 的大小为【命题立意】 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力 .【思路点拨】 先根据 sin B cos B2 求出 B，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出 A.【规范解答】 由 sin B cos B2 ，得 1 2sin B cosB2 ，即 sin 2B1，因为 0B，所以 B=45 o ，又因为 a2 ， b2 ，所以在ABC 中，由正弦定理得：2 =2，解

7、得sin A1，又ab，sin Asin 45o2所以 AB=45 o ，所以 A=30 o .【答案】 30（ 或）6a、b、c，若 ba7. （ 2010江苏高考 13）在锐角三角形 ABC中，角 A、B、C的对边分别为6cos C ，ab则 tan C tan C 的值是 _.tan Atan B【命题立意】 考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想.【思路点拨】 对条件 ba6cos C 采用角化边，对tan Ctan C 采用切化弦并结合正弦定理解决.abtan A tan B【规范解答】 ba6cos C 6ab cosC a2b2， 6ab a2 b2c2a

8、2b2 , a2b23c2ab2ab2 .tan Ctan Csin Ccos B sin A sin Bcos Asin Csin( AB)1sin2 C由正弦定理tan Atan BcosCsin Asin BcosCsin Asin BcosC sin Asin B ，得，上式.【答案】 4【方法技巧】 上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化.本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B 和边 a、b 具有轮换性， 可采用以下方法解决：当 A=B或 a=b时满足题意，此时有： cosC1 ， tan 2C1cosC1 ， tan C2 ，321co

9、sC222- 3 -圆学子梦想铸金字品牌tan A tan B1tan Ctan C2，= 4.Ctan Atan Btan28. （ 2010辽宁高考文科17）在 ABC中， a, b, c 分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A=(2 b+c)sin B+(2 c+b)sin C.( ) 求 A 的大小 .（）若sin B +sin C=1, 试判断 ABC的形状 .【命题立意】本题考查了正弦定理、余弦定理和考生的运算求解能力.【思路点拨】(I) 根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角.(II) 利用（ I ）的结论，求出角 B( 或角 C)，判

10、断三角形的形状 .【规范解答】【方法技巧】(1) 利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换 sinA ，用 b 替换 sinB, 用 c 替换sinC.sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分.(2) 以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用, 如本例中B+C 60.9. （ 2010浙江高考文科18）在 ABC中，角 A， B，C 所对的边分别为a,b,c,设 S 为 ABC的面积，满足 S3 (a2 b2 c2 ) .4- 4 -圆学子梦想铸金字品牌（）求角C 的大小 .（）求 sin Asin B

11、的最大值 .【命题立意】 解析本题主要利用余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查考生的运算求解能力 .【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简，求最值【规范解答】 ( ) 由题意可知1sinC 3， 所以因为，所以abtan3 .242abcosCC0C C（ ) 由已知 sin A+sin B = sinA+sin(- C- A) sin A+sin(2- A)331sin A3 sin(0 A2) . sin A+cos A+A+) 33226当 A ，即 ABC为正三角形时取等号，所以sin A+sin B 的最大值是3 .3【方法

12、技巧】 求 sin A sin B 时，利用AB2转化为求关于角A 的三角函数 y3 sin( A3，最值问题 .10. （ 2010辽宁高考理科17）在 ABC中， a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小 .（）求 sin Bsin C 的最大值 .【命题立意】考查了正弦定理、余弦定理、三角函数的恒等变换及三角函数的最值.【思路点拨】（ I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角.（ II ）由（ I ）知角 C 60-B ，代入 sinB+sinC中，看作关于角B 的函数，进而求出最值.2【规范解答】（）由已知，根据正弦定理得2a(

13、2bc)b(2 cb)c ，.3) 的6即 a2b2c2bc ，由余弦定理得 a2b2c22bc cos A，1故 cos A，又 0A180 ， A=120.2（）由（）得：sin Bsin Csin Bsin(60B)- 5 -圆学子梦想铸金字品牌故当 B 30时， sinB+sinC 取得最大值1.【方法技巧】(1) 利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换 sinA ，用 b 替换 sinB, 用 c 替换 sinC.sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分.(2) 以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，如本例中B+C 60.11. （ 2010浙江高考理科18）在 ABC中, 角 A， B，C 所对的边分别为1a,b,c ，已知 cos 2C4 ，(I)求 sinC 的值( ) 当 a=2， 2sinA=sinC时，求 b 及 c 的长【命题立意】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查考生的运算求解能力 .【思路点拨】 利用二倍角余弦公式求sin C 的值，再利用正弦定理求c ，