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文档简介

1、费马点的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在 120 度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120 度时候对三角形内任一点P延长 BA至 C 使得 AC=AC，做 CAP= CAP，并且使得 AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形 APC以 A 为中心做了个旋转）则 APC APC BAC120 PAP=180 - BAP - C

2、AP=180-BAP - CAP=180 -BAC60 等腰三角形 PAP 中， APPP PA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以 A 是费马点3、当所有内角都小于120时.做出 ABC内一点 P，使得 APC=BPC=CPA=120， 分别作 PA,PB,PC的垂线，交于 D,E,F 三点，如图，再作任一异于 P 的点 P ，连结 PA,PB,PC ，过 P 作 PH 垂直 EF于 H易知 D=E=F=60，即 DEF为等边三角形，计边长为 d，面积为 S 则有 2S=d(PA+PB+PC) PAPH所以 2SEPFPA*d同理有2SDPFPB*d2SEPDPC*d相加得 2S

3、d(PA+PB+PC)即 PA+PB+PCPA+PB+PC，当且仅当 P,P 重合时取到等号所以 P 是费马点虽然不知道费马点在那里， 我们先假设他在某个位置， 做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于 120 度的时候。.以 A,C 为焦点， AP+PC为长轴长，做椭圆，以B为圆心， BP为半径，做圆我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点 P 则 P 在圆内也在椭圆内所以 PA+PB+PCPA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧，因为都过 P）.做他们的公切线，并作直线BP，显然 BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知， BP平分角 AP

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