浙江专用2020版高考数学专题4三角函数4.2三角函数的图象与性质课件.pptx

1、高考数学（浙江专用）,4.2三角函数的图象与性质,考点一三角函数的图象及其变换,考点清单,考向基础 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在0,2上的图象的形状时,起关键作用的五个点是(0,0)、 (,0)、(2,0). 2.作y=Asin(x+)(0)的图象主要有以下两种方法:,0,2来求出相应的x,通过列表计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,(1)五点法 用五点法作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取,上述两种变换的区别:

2、先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(0)个单 位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的. 3.y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫做振幅, T=叫做周期, f=叫做频率,x+叫做相位,x=0时的相位称为初相.,考向突破,考向一三角函数图象的变换,例1(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 () A.B.C.0D.,解析将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位后得到f(x)= sin的图象

3、,若f(x)=sin为偶函数,则必有+=k+ ,kZ,所以=k+,kZ,当k=0时,=.,答案B,考向二由图象求解析式,例2(2017河南天一大联考(三),9)已知函数f(x)=Msin(x+)的部分图象如图所示,其中A,C,点A是 最高点,则下列说法错误的是(),A.=- B.函数f(x)在上单调递增 C.若点B的横坐标为,则其纵坐标为-2 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=4sin 2x的图象,解析依题图得,M=4,T=-,故T=,所以=2,将代入f(x) =4sin(2x+)中,得sin=1,所以+=2k+(kZ),则=2k-(k Z),因为|,所以=-,故A正确;f(x

4、)=4sin,则f=4sin =4=-2,故C正确;易知函数f(x)在上单调递减, 故B错误;因为y=4sin=4sin 2x,所以D正确.,答案B,考点二三角函数的性质及其应用,考向基础,考向突破,考向一奇偶性、对称性和周期性,例1(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,5)已知函数y=cos(x+)(0,0)为奇函数,且A,B分别为函数图象上的最高点与最低点,若|AB|的最小值为2,则该函数图象的一条对称轴是() A.x=B.x=C.x=D.x=1,解析由题意知,=,且T=2=4,所以=,故y=-sinx, 令x=k+,kZ,得x=2k+1,kZ,故选D.,答案D,考向二单调性、最值,例2

5、已知函数f(x)=4cos xsin(0)的最小正周期是. (1)求函数f(x)在区间x(0,)上的单调递增区间; (2)求f(x)在上的最大值和最小值.,解析(1)f(x)=4cos xsin =4cos x =2sin xcos x-2cos2x+1-1 =sin 2x-cos 2x-1 =2sin-1, 且f(x)的最小正周期是=,所以=1, 从而f(x)=2sin-1. 令-+2k2x-+2k(kZ),解得-+kx+k(kZ), 所以函数f(x)在x(0,)上的单调递增区间为和. (2)当x时,2x, 所以2x-, 2sin, 所以当2x-=,即x=时, f(x)取得最小值-1; 当2

6、x-=,即x=时, f(x)取得最大值1, 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1、-1.,方法1三角函数图象变换的解题方法 1.在三角函数图象的变换过程中,一定要弄清哪一个是起始函数,哪一个是目标函数. 2.在平移变换中,可以通过关键点的平移来判断平移方向和距离.比如:由函数y=sin的图象平移得到函数y=sin的图象,可分别 令2x-=0,2x+=0,即相当于由点A平移到点B,即向左平 移了个单位. 3.在伸缩变换中,对于横坐标的伸缩,可用三角函数的最小正周期来判断,方法技巧,伸缩的倍数;对于纵坐标的伸缩,可用三角函数的最值来判断伸缩的倍数.,例1(2018浙江镇海中学期中,4)将函数f

7、(x)=3sin图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x) 的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是() A.x=B.x= C.x=D.x=,解析解法一:将函数f(x)=3sin图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍,得到函数y=3sin的图象,再向右平移个单位长度,得 g(x)=3sin=3sin的图象,令2x-=k+,kZ,则y=g (x)图象的对称轴是x=+,kZ,故选C. 解法二:令4x+=k+(kZ),得x=+(kZ),即函数y=f(x)的图象的 对称轴方程是x=+(kZ),伸长到原来的2倍,得到x=+(kZ), 向右平移个单位长度,得到y=g

8、(x)图象的对称轴是x=+,kZ,故选 C.,答案C,方法2三角函数周期和对称轴(对称中心)的求解方法 1.三角函数周期的求解方法:定义法;公式法:函数y=Asin(x+)(y=Acos(x+)的最小正周期T=,函数y=Atan(x+)的最小正周期T= ;图象法:对于含有绝对值符号的三角函数的周期可画出函数的图 象,从而观察出周期大小;转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变换将其转化为y=Asin(x+)+B(或y=Acos(x+)+B或y=Atan(x+)+B)的类型,再利用公式法求得. 2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法:熟记以下各函数图象的对称轴与对称中心:y=sin x

9、图象的对称轴为x=k+,kZ,对称中心 为(k,0),kZ;y=cos x图象的对称轴为x=k,kZ,对称中心为,kZ;y=tan x图象的对称中心为,kZ,无对称轴.利用整体代换 思想求解函数y=Asin(x+)图象的对称轴和对称中心,令x+=k+,k Z,解得x=,kZ,即为对称轴方程;令x+=k,kZ,解得x =,kZ,即为对称中心的横坐标,纵坐标为0.,例2已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴; (2)当x时,求f(x)的取值范围.,解题导引 (1) (2),解析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2=2sin, 所以函数f(

10、x)的最小正周期为. 令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ), 故函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(kZ). (2)因为x,所以2x-, 所以sin, 所以f(x)的取值范围是-1,2.,评析本题考查三角恒等变换,函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象和性质,考查推理与运算能力.,方法3三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 1.求函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)或y=Atan(x+)的单调区间时,一般先将x的系数化为正值(通过诱导公式转化),再把“x+”视为一个整体,结合基本初等函数y=sin x(或y=cos x或y=tan x)的单调性找到“x+”在xR上满足

11、的条件,通过解不等式求得单调区间. 2.三角函数的最值和值域问题一般有两种类型:形如y=asin x+b(a0)或y=acos x+b(a0)的函数的最值或值域问题,利用正、余弦函数的有界性(-1sin x1,-1cos x1)求解,求三角函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑三角函数的周期性;形如y=asin2x+bsin x+c,xD(a0)(或y=acos2x+bcos x+c,xD(a0)的函数的最值或值域问题,通过换元,令t=sin x(或t=cos x),将原函数化为关于t的二次函数,利用配方法求,其最值或值域,求解过程中要注意t的范围.,例3(1)(2017课标全国,6,5

12、分)函数f(x)=sin+cos的最 大值为() A.B.1C.D. (2)(2017安徽二模,6)函数f(x)=cos(0)的最小正周期是,则其 图象向右平移个单位后对应函数的单调递减区间是() A.(kZ) B.(kZ) C.(kZ),D.(kZ),解题导引 (1) (2),解析(1)f(x)=sin+cos =+cos x+sin x =sin x+cos x =2sin =sin, f(x)的最大值为. 故选A. (2)由函数f(x)=cos(0)的最小正周期是,得=,解得=2,则f,(x)=cos. 将其图象向右平移个单位后,对应函数的解析式为y=cos =cos=sin 2x, 由+2k2x+2k(kZ), 解得所求单调递减区间为(kZ).故选B.,答案(1)A(2)B,方法4由函数图象求解析式的方法 由图象求解析式y=Asin(x+)(A0,0)的一般步骤: (1)由函数的最值确定A的值; (2)由函数的周期来确定的值; (3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于的方程,再由的范围得的值,也可以由起始点的横坐标得的值.,例4(2017浙江湖州、衢州、丽水联考(4月),18)函数f(x)=2sin(x