一元二次方程求解中的化归思想

1、化归思想在一元二次方程求解中的运用广州二中数学科 周珑摘要：本文通过例子来说明化归思想在一元二次方程求解过程中的运用，并指出了化归思想方法的基本方向、基本原则，教学策略及应当注意的问题。关键词：化归思想 一元二次方程的求解化归思想方法，是指研究和解决有关数学问题时，将原问题通过变换，使之转化为简单或已解决的问题，从而使原问题达到解决的方法。化归思想方法是最基本、最常用的数学思想方法，其基本方向是：化未知为已知、化复杂为简单；基本原则是化隐为显、螺旋上升、系统教学、启发诱导等。这就需要在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁（即知识之间的“关系键”），要求我们在学习数学的过程中，不断地构建

2、知识结构，形成知识网络；化归思想的教学策略有：从教材中挖掘化归思想方法、在教学设计中渗透化归思想方法等。下面以化归思想在一元二次方程求解中的运用来阐述化归思想方法的基本方向、基本原则、教学策略及应当注意的问题。形如的方程称为一元二次方程。最简单、最基本的一元二次方程是（下称基本形式I），根据平方根的概念可知其解为：。这就是直接开平方法。因此，解一元二次方程的第一条线索是：将方程化成基本形式I，从而得到解。1、利用整体或换元思想，将方程化为基本形式I例1、（1）；（2）。 化归分析：利用幂与乘方的运算，很快可以将（1）化成，将看做一个整体，则方程就化成基本形式I，从而 故方程的解为。（2）移项即

3、是（1）的形式，按刚才的办法立即得到解。例2、。化归分析：通过移项，并将视为整体，则方程化为基本形式I：，故 从而解为。例3、 。 化归分析：将和视为整体，则方程已经形如基本形式I，故即或 分别解这两个一元一次方程可得原方程的解为。例4、。化归分析：方程可变形为，将和视为整体，则方程已经形如基本形式I，从而容易得到解。 在教学中，教师可以在完成题组训练后适时引导学生总结出这类方程的特点是：经过简单变形后能够化成两端是完全平方的基本形式I（“没有”一次项！）。2、利用完全平方公式和换元思想，对形如的一元二次方程，化成基本形式I，此即配方法。例5、。化归分析：设定一个目标（化归目标），对该问题而言

4、，需要把该方程化为我们知道如何求解的方程，即两端都是完全平方的形式（基本形式I）。教师通过启发引导，将方程依次变为：（关键步骤），最后一个方程已经是基本形式I了，从而可解。例6、。化归分析：二次项系数不是1，可以通过除以二次项系数的办法来将该方程化为例5的情形，再按例5的方法求解。例7、。化归分析：移项，方程变为，则变成例6的情形。 在教学中，教师可以在完成题组训练后适时引导学生总结出配方法的“三步曲”：（1）二次项系数化为1，即将方程化成的形式；（2）配方：配一次项系数一半的平方，这是最关键的一步；（3）整理并求解：将方程化为的形式，从而解为。总结后，再给学生适当的训练，实践证明，效果良好。

5、注意：（1）当方程变成一元一次方程；当，可化为直接开平方法或平方差公式法求解；当可用提取公因式法求解。（2）对于一些特定的系数，用也可用十字相乘法求解。3、利用配方法，可以得到一元二次方程的求根公式，此乃公式法。当学生对具体的方程能熟练运用配方法后，再对一般的方程使用配方法，就不难推导出求根公式：。在推导的过程中有这样的一步：，顺便可以提出判别式的概念。例8、。化归分析：判别式所以方程有两不相等的实数解即。从以上的论述可以看出：遵循化复杂为简单、化生疏为熟悉、化未知为已知这样的基本化归方向，将一元二次方程的基本解法联系在一起，学生也会感到很自然，辅以适当的训练，学生的数学思维会得到发展。另一类

6、很简单的一元二次方程形如：（下称基本形式II），其解为。因此，解一元二次方程的第二条线索是：利用分解因式，将方程化成上述的基本形式II的形式，从而得到方程的解，此乃分解因式法。而分解因式在初中阶段主要有提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法、十字相乘法等（注：十字相乘法虽然课本中未有涉及，但在教学中经常会补充讲解）。将一般的一元二次方程化成基本形式II，其实是将一元二次方程化成两个一元一次方程，这是化未知为已知、化复杂为简单的典型表现，反映了辩证唯物主义的运动、发展与变化的基本观点。1、提取公因式法例9、化归分析：选定转化的目标将方程化成基本形式II，于是原方程可以化为，从而或，故原方程的

7、解为。注意：有些同学在转化时往往出现约掉的情形造成失根。具体做法是，约掉，得。其原因是化归目标不明确，化归不具等价性。当然，如果学生具备全面的思维或利用分类讨论思想，就不会出现该问题。例10、化归分析：将视为整体，并移项，则有。从而。教师可以在完成题组训练后归纳出能使用这种方法的方程特点：“没有”常数项！2、平方差公式法例11、化归分析：紧盯化归目标化成基本形式II，不难得出，从而。例12、3化归分析： 方程两边同时除以3，再利用平方差公式可得基本形式II：，从而。注意：鉴于化归具有目标多样性的特点，对这种类型的方程，也可将化归的目标定为化成基本形式I，再用直接开平方法求解。能使用这种方法的方

8、程特点：“没有”一次项。 3、完全平方公式法鉴于这种方法跟配方法实质及步骤无异，此处不再展开说明。4、十字相乘法例、（1）；（2）。 化归分析：(1)利用十字相乘法，有（基本形式II），解为；（2）原方程可化为（基本形式II），解为。注意：（1）若选定化归目标为化为基本形式I，则势必要用配方法或公式法，计算没有分解因式法简单！因此化归目标很关键。（2）当系数不合适时（反映为判别式不是完全平方数！），要学会变通，改用配方法或公式法，例如，。教师在讲解中不仅要突出化归的思想（通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解）和整体的思想，还要认真板演、示范表述格式、强调两个一元一次方程之间的连结

9、词要用“或”，而不能用“且”。此外，在实际的课堂教学中，要归纳用因式分解法求解的一元二次方程的基本类型：移项后直接因式分解（提取公因式法和平方差公式法）；先变形成一般形式，再因式分解（完全平方公式法、十字相乘法、分组分解法等）。在教学中，要引导学生养成习惯：先判断方程的类型，然后选择最简单的方法求出方程的解（很多学生做不到这一点，即使基础较好的学生也会因为方法不是最简单而造成求解过程复杂或求解错误）。解一元二次方程只是基本的技能，因此教学目标是让学生能快速准确地得到方程的解。从以上的例子和分析可以看出，在一元二次方程解法的教学中，在渗透化归思想时，要注意以下几个方面：1、明确化归目标，保证化归

10、的有效性和简洁性化归思想方法的实施关键是设计化归目标。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题规范化。化归能否快捷地完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，须始终紧盯化归目标。盲目地选择化归的方向与方法，势必造成计算过程复杂或走入死胡同。2、保证化归的等价性3、注意化归的多样性，设计合理的转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，避免一成不变、生搬硬套。4、在实际教学过程中辩证对待化归克服化归的负面影响。最后，还必须说明，化归思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能