复变函数与积分变换第1章函数与复变函数

1、,复变函数,复变函数的理论和方法在数学, 自然科学和工程技术中有着广泛的应用, 是解决诸如流体力学, 电磁学, 热学, 弹性理论中的平面问题的有力工具. 而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展,丰富了它的内容.,第一章 复数与复变函数,1.1 复数,1.2 复数的三角表示,q2,z2,q1,z1,z1z2,1,O,x,y,1.3 平面点集的一般概念,d,z0,C3,C2,z,g1,g2,C1,x,y,D,O,无界区域的例子:,上半平面:Im z0,角形域:0arg zj,j,a,b,带形域:aIm zb,区域,z2,z1,不连通！,例：,连续,不连续,光滑,不光滑,9.连续曲线

2、,z(a)=z(b),简单,闭,z(a),z(b),简单,不闭,z(a)=z(b),不简单,闭,不简单,不闭,z(a),z(b),例:,用参数方程表示连接 与 的直线段.,解:,平面上连接(1,1)与(-1,-4)的直线段,其参数方程可写成,故 其复数形式的参数方程为,内部,外部,C,若尔当定理：任意一条简单闭曲线C把 整个复平面唯一地分成三个互不相交的点 集, 其中除去C外, 一个是有界区域, 称为C的 内部, 另一个是无界区域, 称为C的外部, C为它们的公共边界.,单连通域,多连通域,定义 复平面上的一个区域B, 如果在其中 任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属 于B, 就称为单连通区

3、域, 不是单连通的区 域, 就称为多连通区域.,包括无穷远点自身在内且满足|z|M的所有点的集合, 其中实数M0, 称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.,M,0,|z|M,不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的 所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作M|z|.,加法: a+=+a= (a)减法: a-= ，-a= (a)乘法: a=a= (a0),关于的四则运算作如下规定:,其它运算不确定。,11. 复球面,N,S,O,x,y,P,z,z,对任一点z, 将z与N相连, 与球面相交于P点, 则 球面上除N点外，所有 点和复平面上所有点有一一对应的关系, N点本身可代 表

4、无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.,1.5 复变函数,2. 映射的概念,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.,x,u,G,z,w,W=f(z),v,y,W,D,Z,设函数w = z =x iy ; u=x , v=-y,y,O,u,O,v,x,例: 函数 把倾角 得直线映射成平面上怎样的曲线.,Z平面上倾角 的直线可看成是由 的射线与 的射线组成,而射线 的映像为 ,射线 的映像为 . 故Z平面上倾角 的直线的映像为平面上射线,3.复变函数的极限,x,O,z0,d,z,O,u,A,e,f(z),证 令 z = x + i y, 则,由此得,让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有,故极限不存在.,极限的四则运算：,4.复变函数的连续,例 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续. 当