现代科技综述知识文库：渐近鞅理论

1、现代科技综述系列渐近鞅理论科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“渐近鞅理论”的解读，以供大家了解。渐近鞅理论自20世纪50年代经典鞅论完成后，近代鞅论迅猛发展的同时，人们考虑能否减弱鞅定义中的条件而仍能保持鞅的部分性质，其主要特点是鞅条件在各种不同的极限意义下成立，这就是自60年代开始发展起来的渐近鞅理论。设是实值适应可积序列，和T分别表示()停时和有界停时全体，记T()=T：，。称Z是鞅(Martingale)，若； 称Z是拟鞅(Quasimartingale)，若； 称Z是渐近鞅(Amart)，若存在且有限； 称Z是依概渐近鞅(Pra

2、mart)，若 称Z是极限鞅(1)(Mil(1)，若 称Z是极限鞅(2)(Mil(2)，若称Z是极限鞅(3)(Mil(3)，若 称Z是依概极限鞅(1) (GFT(1)，若 称Z是依概极限鞅(2)(GFT(2)，若 称Z是循序鞅(PM)，若存在上升的适应集合列(An， n1) 使有且在An上有； 称Z是终鞅(EM)，若； 称Z是拟终鞅(QEM)，若； 称Z是L1极限鞅(1)(L1Mil(1)，若； 称Z是L1极限鞅(2)(L1Mil(2)，若 上述序列也称为鞅型序列，它们之间有下述关系： 若把上述序列定义中的绝对值改为+ ()，就得到相应的上(下)鞅型序列。例如称Z是极限下鞅(3)，若 ， ，对

3、给定的域流(，n1)，设表示具有某一特性的实值(，n1)适应的可积序列全体，称具有： (A)可选停止性，若对每一个，有， (B)可选采样性，若对每一个，对任取的上升停时列，均有。(C)Riesz分解性，若对每一个(xn，Fn，n1)1，有分解 xn=Mn+zn，n1 其中(Mn，n1)是鞅，而EznIA0，n，； (D)极大值不等式性，若对每一个， 有； (E)as收敛性，若对每一个， 存在；(F)变换性，若对每一个，(un，n1)可料序列 (i)若(un，n1)一致有界，则，其中 (ii)若，在集合上存在(G)差方可加性，若对每一个，有 已知鞅具有所有上述性质，鞅型序列保持上述鞅性质的情况如

4、表1所示。表1 说明：(1)表中表示有此性质，表示无此性质，*表示在条件下有此性质。(2)Pr表示仅有依概率收敛性。(3)F(ii)表示仅有变换性(ii)，F(ii)*表示在条件下有变换性(ii)。关于鞅型序列及其有关性质的一系列结果，常称为渐近鞅理论，几乎与此同时，向量值渐近鞅理论也被建立。设(，)是一Banach空间，是值Bochner可积适应序列，若把实值鞅型序列定义中的绝对值换成，即可得到相应的向量值鞅型序列的定义。例如称Z是一致渐近鞅，若。当时，渐近鞅与一致渐近鞅是等价的，但在一般Banach空间中，只有一致渐近鞅渐近鞅成立。向量值鞅与鞅型序列的鞅性质常与值空间的几何性质有关。例如，

5、1985年MTalagrand证明了下述命题设是一Banach空间，则下述等价：(1)有RNP，(2)满足条件的任一值Mil(3)必as按范数拓扑收敛。现在，实值与向量值渐近鞅理论已趋于成熟，随着随机集理论的兴起，集值鞅与渐近鞅理论正处于发展阶段。【参考文献】： 1 Edgar G A, et al. J, Multivariate Anal,1976,6:193221, 572591 2 Millet A, et al. Can J Math, 1980,32:86125 3 Gut A, et al. L.N. M, 1983,1042 4 Egghe L. Stopping time techniques for analysts and proba-bilists. Cambridge University Press, 1984 5TomkinsRJ. Can J Statis