2009年全国高中数学联赛试题及答案

1、2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。

2、一 试一、填空（每小题7分，共56分）1 若函数且，则 2 已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 3 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 5 椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 6 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的

3、，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）二、解答题1 （14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2 （15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和 3 （15分）求函数的最大和最小值 加试一、解答题（共4小题，每小题50分，共200分）1、如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），

4、记，的内心分别为，求证：，四点共圆2、求证不等式：，2，3、设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素4、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设7分的0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。2 如果考生的解答方法和本解答

5、不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其它中间档次。一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1、若函数且，则解： ， ， .故 . 2、已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 解：设A（a，9-a），则圆心M到直线AC的距离d=sin，由直线AC与圆M相交，得 .解得 .3、在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 解：由题意知 = = 4、使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 2009 解：设.显然单调递减.则由的最大值，可得

6、.5、椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为解：设，由在椭圆上，有 （1） （2）（1） +（2）得 于是当 时，达到最小值6、若方程仅有一个实根，那么的取值范围是或 解： 当且仅当 （1） （2） （3）对（3）由求根公式得 （4）或当时，由（3）得所以同为负根。又由（4）知，所以原方程有一个解。当时，原方程有一个解当时，由（3）得所以同为正根，且，不合题意，舍去。综上可得或为所求。7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）解：易知：该数表共有100行；每一行构

7、成一个等差数列，且公差依次为为所求。设第行的第一个数为，则 . 故.8、某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 27 （精确到分）解：旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1、（14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由解：（本小题满分14分）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点A，B，与双曲线交于不同两点C，D，问是否存在直线L，使得

8、向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。解：由 消去化简整理得设，则. （1）4分由 消去化简整理得设，则. （2）8分因为，所以，此时，.由，得.所以，或.由上试解得或.当时，由（1）和（2）得.因是整数，所以的值为当时，由（1）和（2）得.因是整数，所以于满足条件的直线共有9条。14分2、（15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和 解法一：（I）由韦达定理知又所以整理得令，则所以是公比为的等比数列.数列的首项为：所以即所以当，变为整理得，所以，数列成公差为1的等差数列，其首项为，所以于是数列的通项公式为 5分当

9、时， 整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为 10分（II）若则此时由第（I）步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以15分解法二：（I）由由韦达定理知又所以特征方程的两个根为.当时，通项.由得解得故 5分当时，通项由得解得故 10分 （II）同解法一。3、（15分）求函数的最大和最小值解：函数的定义域为。因为 当时等号成立。故的最小值为5分又由柯西不等式得 所以 10分由柯西不等式等号成立的条件，得解得.故当时等号成立。因此的最大值为11. 15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格

10、按照本评分标准的评分档次给分；2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其它中间档次。一、解答题（共4小题，每小题50分，共200分）1、如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为， 求证：，四点共圆证明：（1）连NI，MI.由于PC/MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形。因此NP/MC，PM/NC 10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为,所以MC=MI，同理NC=NI.于是NP=MI，PM=

11、NI.故四边形MPNI为平行四边形。因此（同底，等高）20分又P，N，T，M四点共圆，故.由三角形面积公式 于是30分（2）因为，所以.同理.由得由（1）所证MP=NC，NP=MC.故 40分又因，有.故从而.因此四点共圆50分2、求证不等式：，2，证明：首先证明一个不等式：（1） 事实上，令则对，于是在（1）中取得（2） 10分令，则， 因此30分又因为从而 50分3、设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素证法一：对任意正整数，令我们证明设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p，则由 即p不整除上式，故p20分若p | k!，设使，但k!.则.故由 及| k!，且k!，知|

12、 k!且k!.从而p 50分证法二：对任意正整数，令我们证明设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p，则由 即p不整除上式，故p20分若p | k!，设使，但k!.故由 及| k!，且k!，知| k!且k!.从而p 50分4、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质证明：（i）假设最小值不是取自数表的不同列。则存在一列不含任何.不妨设由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是另一方面，由于数表具有性质（），在（3）中取=2，则存在某个使得.矛盾10分(ii)由抽屉原理知中至少有两个值取在同一列。不妨设.由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是.同样，第二列中也必含某个不妨设.于是，即是数表中的对角线上数字：记M=1，2，.，9，令集合显然且.因为，所以.故.于是存在使得.显然， 下面证明数表具有性质（）.从上面的选法可知这说明又由满足性质（），在（3）中取，推得于是下证对任意的存在某个使得.假若不然，则且.这与的最大性矛盾。因此，数表满足性质（）。30分下证唯一性