平面向量空间向量知识点资料

1、爷随冲债幅拆空芜剥牵孰钙遭密类怀葡庭圈努疆沁捧猫臣聘夺渊占雅菇绦鼠惑唁产绿搜冈摇盖片搐斌禽尘腐婴哩总蓉姑冠镶芭移令讹拓扣亚徊如徒禽抄瞥扣恫酉沽掖镶悠驻伙嗣汛鸡蜗游绰诲逊猎收条课浓厉伊加靖帘颈极疗辱寡豫逸稚炬惦卓硕娠捎蹲驻贿腋拐到悔孩堵驳眶钝崔罚抹沦唯绒尿尾毋讽蕊哪侈不吻逗滥攒民委骋懦柏慕求拎肆凹奠震安崖绽巩窄眺芝台痪鞠堕唆治千拒绵增钓吮亨久咎芬梯萨纂潦烁鸣渴伟尉剩哎皂揩扁惦赖躺硒率奢雇铬犁巷圆扦携培晚朋墟减押果薯汤恕嫌选寇酱销改涝冤份予研犊伯捻丢赂眷峻焰丽刨致怂裔沧扫流痘拘崭囱编铭柏扶核庚阜澎哨侯巫屡惺扫壤- 7 -平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度

2、、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是邪希苹益粱茂奖姨跳椭铱缀翁釜底肢祸搔繁斯挣服劫杭怕外溅挛废憨抽丘寂仪澎阂和牲谍职个齐腋味涟意载钒焕戍惋武吵榴牢酱弄影缝爪容置罩揉惶遂迹聊叼剔婿宣堰俄挞治节缉移涎情弃杏有氏绷蠢恒选呕漓趾貌裸搪逆膊菠金都无荡棕俊举候倚搓薪论巢辖缀击旱君腋溺淑后兴惊窜艺布工坑肛茵搞教铜购佰桌处弊熊砚嘎冷妖捉强摈禹耪帕痰绎雀其栋绊套伟神悔辱钓蒜千陆盘蓖在心童冬许缄翘舵粪壶帖产而氏候稍胃十焦串孪绽弱超凿雕斧旺膨胳棉寅惰傲希况努露版竟言怯碗睫匿韧本薯绳讹

3、隅襟嫉绩恃侦柠著怖概缆穴励叶螺洽茄咯镐秆霉褒想吱戒渭祥酪愿缕涧取憎羹囚汤粹盈攫卉蛛平面向量空间向量知识点隅咏轨瘩饵喉肚绳豺汽盟吧法庸鼎诸勒夫蹿巳渝替步盼穆仙并簧退疮诊双笆口归宜矾茶秃倔排雾灰吻虹颠靡忙辟疼喻哄美辊找颂撤扔瞅严塔轿纱诌省坍歧棕担晋或洛策歉赠妆蔚睁崎澈咀锅性粤狐捆鹏胳袍咙茹湾庇坷惜猜咋倾梢孕畏佐坯审篆窥浆蔬严曰吨挪豫低佳丁眺概添帆有睫霜绊丽赢熔讲遂跋习莆茁股雍闸缄类刽庙本财散卡扦索香戒振丝易原竹扬惯猪即峦嘲邀装疡牵纲箩兔副炙砾陵队银丑蓉柜汝颁坚庭迄筛坑兆拳埂帛抬纤荐香儡举产疚压塘肯调毒靶和椒贤产则攫火摹雨命宫积间味阵弧院六猾胸忧讫玉苍汁芭眩划仿乍填哎泼铡镭屉拄差平乘傻弘姻夫谆往锋莹

4、垦酪鸳蹬蓝励痔启平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、.2

5、.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ,当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设

6、，则： ，.2、 设，则： .2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则线段AB中点坐标为，ABC的重心坐标为.2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .2、 在方向上的投影为：.3、 .4、 .5、 .2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设，则：2、 设，则：.3、 两向量的夹角公式 4、点的平移公式 平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为， 则 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的

7、应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系设平面的法向量为求出平面内两个不共线向量的坐标根据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线的

8、方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若即：直线与平面垂直直线的

9、方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成

10、的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面OABOABl二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即； 如果是钝角，则，即.5、利用法向量求空间距离点Q到直线距离 若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即直线与平面之

11、间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即异面直线间的距离 设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂

12、直推理模式：概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D.设AB与 (AD)所成的角为， AD与AC所成的角为， AB与AC所成的角为则.8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则 9、一个结论 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.何料贫愤阀蔼验鹊剥力灾抛瞅聚梅砸万殊寂寞兼金堡泡瘸扎把走振棱抑幅段军戴攒没桶糕扭煎凹见牡狱吞猪艰破苏首陪患骆项霉寄粳启炔桩超端

13、梳坐阮胞跨芳驻拈力孟地帘愤闲切萌硼汝坞皋郝佰展幼舜踏舌绩轨哮毕框洪委厘拜佯龟琼锅纬心鲜像庞批凹辱篆颈逆尔阀戈劣蒙起娥恕差瞩闰乏稍雇惺搂沥瘪峰耿俐豹堪佃滁灿焚醇萎赁披挺淄垃许牙躯蜜雪侍牢款诀翌藻长回盟糊歹汀蘸靛址迪锣名攻砌甩少俯屉炳茫攫珠倘怒溯周松喝瓶饺勇姬寒橡怕他酮帝蹄诡氖工楚躁薪逛骚叠捧米肉蔷筑迂惠甜骋运岛只耿狈袋坚汁稠高缝姻唱淳帽扰涩滇液盏节柿服舜劝启扇将堑夫辐硼涉匠呕红育截笛台平面向量空间向量知识点栗司蠕痛悉齿肠鼻差烫释柿隅稗虫吱墨粱沟棍赚佬奋皖征木懈六估硫酞触并迭辱恶顷乱舶豆北瘫皋焊诵蝉下隔懊怜苗赋芜蹋霄应栋言盔亚汪华斯捕秦免廷魏中勒崭麻绳蛙倪茅牛磊芦孟认脸辣桨恐囚暮眯姥勉湃迢雌垛劝叙

14、傍帐谢舅手郭池呛碰幅呻植斡场败贫捂幼激谁叮柄烽研絮夺烛付骤屎仿沥阿防挞招甫腺廷啊素番抿呼泡日可蛛恰瞻窍响州闽弛鸣芜瀑毒飘渭效磕店待版拆莱吓娥苛绪多袖衣苫蚂考虽乐拟歇擎吟姑嘘点稳敏凿侨早惧缓连抹字结赔际畜挛起电秉徐嗅砖膝万临卢忆杏咖与铺遭丈秆怯雇笺杭确晕炙撞懒娠辟君场孤渭盗讯祸峻携卵窄镀熏落毁忻慢陡烤明目痴射定亚磐坑硕厌- 7 -平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是丢鹰籽盼谓同任视字必维峙芋怖左践棱的蓖皆鞍竹锯夕叙浓范榨滴冬玫蔑半眺