随机变量的数字特征

1、第10次课:随机变量的数字特征,数学期望的实际背景和数学意义 数学期望的性质与计算 数学期望的线性性质 离散型随机变量的数学期望 利用积分法计算连续型随机变量的数学期望 习题三（3，4，5，7）,随机变量的数字特征,通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.,数学期望,数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or average value) 它的实际意义就是平

2、均值. 但属于一种更为严格的平均值, 和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别.,首先从一个例子说起,假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数, 则观察到的岁数x为一随机变量, 不难求出x的分布率如下表所示.,现在要计算这个班的学生的平均年龄,有两种计算办法, 第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来, 再除以这个班的人数20人, 即6个18岁, 10个19岁, 4个20岁加起来得平均年龄为,第二种办法是统计的办法,就是通过对随机变量x进行一遍又一遍地重复试验, 假设这试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次数

3、分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得的年龄数统统加起来除以n就是统计平均的年龄,当然, 统计平均值x与准确计算的平均值Ex还可能有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值x就趋近于数学期望Ex了.,定义 3.1 假设离散型随机变量x有概率函数Px=xk=pk (k=1,2,.), 若级数,绝对收敛, 则称这级数为x的数学期望, 简称期望或均值, 记为Ex, 即,关于数学期望的一个力学上的解释, 在坐标轴上的x1,x2,.,等点处放置质量为p1,p2,.的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心.,x1,x2,x3,p1,p2,p3,Ex,例1 若x服从0-1分布,

4、 其概率函数为Px=k=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求Ex,解 Ex=0(1-p)+1p=p,x,o,1,p,p,1-p,例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两射手的技术.,解 Ex=10.4+20.1+30.5=2.1 Eh=10.1+20.6+30.3=2.2 这表明, 如果进行多次射击, 他们得分的平均值分别是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好.,例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种, 相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06, 及0.04, 若其产值分别为6元,5.4元,5元4元及0元.

5、 求产品的平均产值.解 产品产值x是一个随机变量, 其分布如下表:,因此, Ex=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04 =5.48(元),现在来讨论连续型随机变量 假设连续型的随机变量x的概率密度为j(x), 现在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为dx的无穷多个小区间, 试验的结果落在第k个小区间的概率近似为,.,.,xk,xk+1,xk+2,xk-1,xk-2,j(xk)dx,dx,在这种情况下我们计算x的数学期望, 可得,定义 3.2 设连续型随机变量x有概率密度j(x), 若积分,例4 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量x的数学期望.解: 依题意,我们都可以用下

6、面的式子来计算x的函数f(x)的数学期望:,因为求f(x)的分布经常是不容易的, 这两个式子无须求f(x)的分布因此极大地简化了数学期望的计算, 在各种论文中被广泛使用.,二元随机变量x,h的函数f(x,h)的数学期望的公式为:,这样也避免了求二元随机变量的函数的分布而直接根据原概率函数或概率密度来求二元随机变量的函数的分布, 因此也得到广泛的应用.,数学期望的性质,常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c. 证 常量c可以看作是以概率1只取一个值c的随机变量, 所以 E(c)=c1=c,(2) 随机变量x与常量c之和的数学期望等于x的期望与这个常量c的和E(x+c)=Ex+c证 令h=f

7、(x)=x+c, 则,(3) 常量c与随机变量x的乘积等于这个常量与此随机变量的期望的乘积, E(cx)=cEx证 令h=f(x)=cx, 则,(4) 随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数, 即E(kx+c)=kEx+c证 E(kx+c)=E(kx)+c=kEx+c,(5) 两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和.E(x+h)=Ex+Eh证 设f(x,h)=x+h, 则,这个性质可推广到任意有限个随机变量的情况, 即对于n2也同样有E(x1+x2+.+xn)=Ex1+Ex2+.+Exn特别地, n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量, 其期望值等于

8、这n个随机变量期望的算术平均数.,(6) 两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积, 即E(xh)=ExEh证: 设f(x,h)=xh, 则,例1 两相互独立的随机变量x,h的分布如下面两表所示, 计算E(x+h)和E(xh),解 Ex=90.3+100.5+110.2=9.9 Eh=60.4+70.6=6.6 则E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5 且因x与h相互独立, 因此E(xh)=9.96.6=65.34 例2 计算上式的Eh2 解 Eh2=620.4+720.6=43.8,例3 有一队射手共9人, 技术不相上下, 每人射击中靶的概率均为0.8; 进行射击

9、, 各自打中靶为止, 但限制每人最多只打3次, 问大约需为他们准备多少发子弹?解 设xi表示第i名射手所需的子弹数目, x表示9名射手所需的子弹数目, 则x=x1+.+x9, 且xi有如下分布律:,Exi=1.24 Ex=Ex1+.+Ex9=91.24=11.16 再多准备10%, 则约需为他们准备13发子弹.,例4 某种无线电元件的使用寿命x是一个随机变量, 其概率密度为,其中l0, 求这种元件的使用寿命.,例5 据统计, 一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者, 在5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0a). b应如何定才能使公司可期望获益; 若有m人参加保险, 公司可期望从中收益多少?,

10、解 设xi表示公司从第i个参加者身上所得的收益, 则xi是一个随机变量, 其分布如下:,公司期望获益为Exi0, 而 Exi=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p) 因此, aba(1-p)-1. 对于m个人, 获益x元,31,第11次课:随机变量的数字特征,随机变量方差 协方差和相关系数 相关与独立的关系 方差的性质与计算 习题三（8，10，12，14，16，18，20，23，24）,32,先看两个例子设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为x1,x2(为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律.,则两炮有相同的期望值(Exi=90,i=1,2), 但比较两组数据可知乙炮较甲

11、炮准确.弹着点集中.,33,图示比较:,90,90,95,95,85,85,80,100,34,可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机变量x对期望值Ex的离散程度.,定义3.3 如果随机变量x的数学期望Ex存在, 称 x-Ex 为随机变量的离差. 显然, 随机变量离差的期望是零, 即 E(x-Ex)=0 不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程度大, 为了消除离差x-Ex的符号, 用(x-Ex)2来衡量x与Ex的偏差.,35,定义3.4,36,如果x是离散型随机变量, 并且Px=xk=pk (k=1,2,.)

12、, 则,可见随机变量的方差是非负数, Dx0, 常量的方差是零. 当x的可能值密集在它的期望值Ex附近时, 方差较小, 反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度,37,图示, 方差大和方差小的情况,方差小,方差大,j1(x),j2(x),x,x,38,例1 计算参数为p的0-1分布的方差,解 根据x的概率函数 Px=1=pPx=0=1-p=q 则Ex=0q+1p=p Dx=(0-p)2q+(1-p)2p= =p(pq+q2)=pq(p+q)=pq =p(1-p) Ex=pDx=pq,39,例2 计算本节开始所举甲乙两炮射击中Dx1, 及Dx2,解 Ex1=Ex2=90, 则

13、 Dx1=1020.2+520.2+020.2+520.2+1020.2 =50 Dx2=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2+520.2 =12.5,40,方差的性质,(1)常量的方差等于零 证 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0 (2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身 证 D(x+c)=Ex+c-E(x+c)2=Ex+c-Ex-c)2 =E(x-Ex)2=Dx (3)常量与随机变量乘积的方差, 等于这常量的平方与随机变量方差的乘积. 证 D(cx)=Ecx-E(cx)2=Ec(x-Ex)2 =Ec2(x-Ex)2=c2Dx,41,图示性质

14、,c,x+c的概率密度,x的概率密度,x的概率密度,cx的概率密度,42,(4) 两个独立随机变量之和的方差, 等于这两个随机变量方差的和,证 D(x+h)=Ex+h-E(x+h)2 =Ex-Ex+h-Eh2 =E(x-Ex)2+(h-Eh)2+2(x-Ex)(h-Eh) =E(x-Ex)2+E(h-Eh)2+2E(x-Ex)(h-Eh) =Dx+Dh 这是因为x与h独立, 则x-Ex与h-Eh也独立, 因此E(x-Ex)(h-Eh)=E(x-Ex)E(h-Eh)=0,43,性质4可以推广到任意有限个随机变量,即, 若x1,x2,.,xn相互独立, 则有 D(x1+x2+.+xn)=Dx1+D

15、x2+.+Dxn 进一步可得: n个相互独立的随机变量的算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍.,44,(5) 任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差, 即Dx=Ex2-(Ex)2,证 Dx=E(x-Ex)2 =Ex2-2xEx+(Ex)2 =Ex2-2ExEx+(Ex)2 =Ex2-(Ex)2 这个公式很重要, 实际上计算一个随机变量的方差用的是这个公式.,45,计算Ex2的办法:,46,例3 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量x的方差.解 已知x的概率密度为,在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/2,47,另一种简单的解法是:,48,例1 两相互独立的随

16、机变量x,h的分布如下面两表所示, 计算D(x-h),解 Ex=90.3+100.5+110.2=9.9 Eh=60.4+70.6=6.6 Ex2=810.3+1000.5+1210.2=98.5 Dx=Ex2-(Ex)2=98.5-98.01=0.49 Eh2=620.4+720.6=43.8 Dh=Eh2-(Eh)2=43.8-43.56=0.24 D(x-h)=Dx+Dh=0.49+0.24=0.73,49,例5 若连续型随机变量的概率密度是,50,也即从,51,求方差的统计学办法,求方差的统计学办法即是通过反复地试验来获得方差. 假设经过了n次试验,获得了n个随机变量x的数据a1,a2

17、,.,an,52,如果有n个相互独立的随机变量x1,x2,.,xn, 它们的方差都相同, 为s2, 则它们的和x1+x2+.+xn的方差就是Dx1+Dx2+.+Dxn=ns2, 因此它们的标准差就是,例如, 假设100个同方差的相互独立的随机变量相加, 和的方差是每一个方差的一100倍, 而标准差只是每一个的标准差的10倍.,53,例: 假设在会计计数时, 每个数都四舍五入到角, 则四舍五入的误差是一个随机变量, 在-5分到5分之间均匀分布, 因此方差为,如果算帐时有10000个数相加, 则四舍五入的误差也就相加, 而和的标准差是每个数的标准差的100倍, 即约28.87角, 或2.887元.

18、 每个数最大可能误差为5分, 则10000个数的最大可能误差为5000角,或者500元, 但这种情况几乎不可能发生.,54,协方差与相关系数,55,对于两个随机变量x和h,当它们是完全相等的时候, 联系是最紧密的了.而当它们相互独立的时候, 联系是最差的了. 因此我们先研究它们的和x+h的方差: D(x+h)=Ex+h-E(x+h)2 =Ex-Ex+h-Eh2 =E(x-Ex)2+(h-Eh)2+2(x-Ex)(h-Eh) =E(x-Ex)2+E(h-Eh)2+2E(x-Ex)(h-Eh) =Dx+Dh+2E(x-Ex)(h-Eh),56,重新写在这里:,D(x+h)=Dx+Dh+2E(x-E

19、x)(h-Eh) 关键在后一项2E(x-Ex)(h-Eh), 我们定义E(x-Ex)(h-Eh)为x和h的协方差, 用cov(x,h)表示. 则 D(x+h)=Dx+Dh+2cov(x,h) 当x和h相互独立时, 联系最不紧密, 这时候 cov(x,h)=0, 因此D(x+h)=Dx+Dh 而当x=h时, 联系最紧密, 这时候Dx=Dh=cov(x,h), 因此D(x+h)=D(2x)=4Dx,57,进一步研究,cov(x,h)=E(x-Ex)(h-Eh) D(x+h)=Dx+Dh+2cov(x,h) 当协方差为0时表示x,h联系最不紧密, 但协方差多大表示x,h联系最紧密却是与x及h的方差的

20、大小有关的, 为去除这个因素, 因此定义,58,现证明|1,令x=x-Ex,h=h-Eh, 则x,h都是期望值为0的随机变量. 对于任给的实数t, 相信E(x+th)20, 即Ex2+2tE(xh)+t2Eh20, 即二次方程Ex2+2tE(xh)+t2Eh2=0最多只有单个实根或者没有实根, 也就说明判别式,59,再考虑当|=1时会是什么情况, 这时方程,Ex2+2tE(xh)+t2Eh2=0 存在着一个单根, 假设这单根为t0, 则有 Ex2+2t0E(xh)+t02Eh2=0 即E(x+t0h)2=0, 故存在着实数t0使得x+t0h=0, 即x和h的离差是正好成比例的, 我们将这种情况称作x与h呈线性关系, 因此就有定理(接后页),60,定理,两个随机变量x和h呈线性关系的充分必要条件, 是它们的相关系数的绝对值为1, 即 |=1 而另一方面, 如果x与h相互独立, 则它们的相关系数必为0, 即=0.,61,协方差的统计,对协方差E(x-Ex)(h-Eh)的统计是这样, 先是通过试验获得了x和h的n对数据(a1,b1),(a2,b2),.,(an,bn)然后令,62,相关与独