初二竞赛专题选讲之反证法

1、初中数学竞赛专题选讲反证法一、内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：AB例如原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时

2、 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。二、例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图12A1B求证：ABCD证明：设AB与CD不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时，1是GHM的外角A1MB12G这与已知条件相矛盾2AB与CD不平行的假设不能成立HABCDC例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出

3、矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)当m=3k+1时，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：不是有理数证明：假设是有理数，那么（a,b是互质的整数），=,（）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数， a也是偶数，设a=2k（

4、k是整数）,a2=4k2, 由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶数， b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立不是有理数例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k1）, 且k,a,b都是正整数，即，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1时，积才能等于13b-2a=1,k=1分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数三、练习1.写出下列各命题结论的反面：命题的结论结论的反面直线a b

5、线段m=na2是偶数A是锐角点A在O上A，B，C至少有1个大于或等于60正整数m是5的倍数方程没有有理数根至少有一个方程两根不相等2.已知：平面内三个点A，B，C满足ABBCAC，求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4. 求证：一个圆的圆心只有一个5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度6. 如果a2奇数，那么a也是奇数 （仿例3）7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)8. 已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)求证a,b,c至少有一个偶数 a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没

6、有正整数解10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BDAC+CD 求证：ABn或m0, n=1,2,3 但这时m都不是整数，7. 设有整数解x=a, y=b按奇数、偶数分类讨论右边1991是奇数，显然，a,b不能同偶数，也不能同奇数，设a,b一奇一偶，a=2m, b=2n+1 (m,n都是整数)那么左边（2m）2+(2n+1)24(m2+n2+n)+1即左边是除以4余1，而右边是除以4余3，11.反设：最多只有3只猴子分得一样多，13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在X轴的正半轴上，即x10, x20那么x1x20,且x