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1、1,第五章 微分方程模型,1 人口预测和控制,2 交通流模型,3 传染病模型（续）,2,1 人口预测和控制,指数增长模型马尔萨斯,阻滞增长模型(Logistic模型),t,x,0,3,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,4,人口发展方程,死亡人数,内,),(,dt,t,t,+,一阶偏微分方程,5,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,人口发展方程,一阶偏微分方程的 半无界问题,-相容性条件,6,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,7,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程,8,人口发展方程和生育率,总和生育率控

2、制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口发展方程,9,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,人口发展方程,10,2 交通流模型,考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。,X轴-公路,X轴正向-公路上车辆前进的方向,车辆分布的密度函数,车辆通过x处的流通速率,车辆通过x处的流通速率,11,交通流模型,车辆数守恒,流通速率与车辆的密度有关！,密度较小时，随密度的增加，流通率增加； 密度较大时，随密度的增加，流通率减小； 密度大到

3、一定程度时，出现交通阻塞！,阻滞增长？,12,交通流模型,Greenshield模型,初始值,13,交通流模型,特征方程组,特征线,沿特征线，v(x,t) 为常数,14,交通流模型,t,稀疏波,t,压缩波,一定时间后，特征线相交,交点处，v取不同值？,出现间断解！-激波,15,传染病模型（续）,人群分为：未患病者（S）、患者（I）、 病愈具免疫力者（R）,时刻t、年龄为x 的三类人的分布密度函数分别为：,1。自然死亡率与年龄有关为：,模型假设,2。患者在患病期间传染性相同；死亡率c(x);,3。人的最大寿命为A；,4。出生率只与年龄有关,与时间无关，为b(x);,5。健康者患病率 ，患病者治愈率为 ；,16,传染病模型（续）,模型建立,第I类人,第II类人,第III类人,17,传染病模型（续）,模型建立,初始条件,边界条件,假定新生儿是健康的、无免疫力,18,传染病模型（续）,一阶偏微分方程组,李大潜（1986）、姚勇（1991）等,19,练习：,讨论如下的追赶问题：不同身高的人沿一直线同向前进；h(t,x) 表示时刻t、坐标x处的人的身高；并假定他们前进的速度与身高有关。试建立微分方程描述该变化过程，并试讨论如下初始

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