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文档简介

1、,第五节,函数展开成幂级数,第十一章,两类问题：,第五节,函数展开成幂级数,第十一章,一、函数的幂级数展开式 泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数的充分必要条件,三、函数展开成幂级数的方法,一、函数的幂级数展开式, 泰勒 ( Taylor ) 级数,定义,问题:,(1) 如果能展开, an 是什么?,(2) 展开式是否唯一?,(3) 在什么条件下才能展开成幂级数?,1. 函数展开成幂级数,2. an 的确定、展开式的唯一性,若在邻域U(x0 ,R) 内任意阶可导的函数,f (x) 能展成幂级数:,定理11.13,则其系数,且展开式是唯一的.,证,则,系数是唯一的,麦克劳林级数

2、 (x0 = 0):,定义11.3,泰勒系数,3. 泰勒级数,(2) 收敛域 ？,(3) 在收敛域 I 内，级数是否一定收敛到 f (x) ?,4. 泰勒级数基本问题,即,答：不一定.,反例：,由此可见，,在 x = 0点任意可导,处处不收敛于,设 f (x) 在区间 I上具有各阶导数,二、函数展开成幂级数的充分必要条件,则 f (x) 在 I 上能展开成泰勒级数，即,定理11.14,证,必要性,泰勒多项式,泰勒级数,充分性,三、函数展开成幂级数的方法,1. 直接展开法,1 求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, ;,2 写出幂级数,3 判断,展开方法,直接展

3、开法, 用泰勒公式,间接展开法, 用已有展开式,并求收敛半径 R ;,步骤：,例1 将,展开成 x 的幂级数.,解,收敛半径,即,余项满足,3,例2 将,展开成 x 的幂级数.,解,收敛半径,余项满足,3,例3 将,展开成 x 的幂级数,(m: 任意常数) .,解,2 麦克劳林级数,3 设和函数为, ,二项展开式:,注 1,2 m 为正整数时, 得二项式定理:,时二项展开式分别为,3,2. 间接展开法,例4 将,展开成 x 的幂级数.,解,逐项求导:,根据展开式的唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式.,例5 将,展开成 x 的幂级数.,解,连续,因右端幂级数在 x 1 收敛 ,故展开式对 x 1 也成立,收敛域为,注 取x = 1得,例6 将,展成,的幂级数.,解,注,思路：,变量代回即可.,例7-1 将,展成 x1 的幂级数.,解,例8,解,事实上，,例9,解,拆,配,化一,展,范围,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 用幂级数性质及已有展开式.,2. 常用函数的幂级数展开式,思考题,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰,

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