1高三第一轮复习——不等式的性质

1、高三第一轮复习不等式的性质不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷性的关键。一知识回顾1不等式的基本性质：（1). 如果，那么，如果，那么。(对称性)即：；。（2). 如果，且，那么。 (传递性) 即，。（3). 如果，那么。 即。（4). 如果，且，那么。 (相加法则) 即， 。（5). 如果，且，那么；如果，且，那么。（6). 如果，且，那么 (相乘法则)。（7). 若;（8). 若。2不等式的其它性质：（1）乘方、开方性质：1）若，则有：； 。2）若，则。3）若，则或。（2）取倒数性质：1）若或，则。2）若或，则。（3）取绝对值的性质：1）。

2、2）若，且， 当时，有； 当时，有。（4）有关分数的性质：若，且，则，1）真分数的性质： ； 。2）假分数的性质： ； 。说明：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。2）是假分数的性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。二典型例题例1 比较与的大小，其中解：， 说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：；例2 比较与的大小，其中解： 当时，；当时，说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步，作差；第二步，变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步，定号，关键是能确定是大于0，等于0，还是小于0；最后得结论。概括为“三步，结论”，这里的“变形”一步

3、最为重要例3 ，比较与（）的大小分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差解：=（）， 则有时，（）恒成立例4 设，比较与的大小解：作差，1）当时，即， ；2）当，即时，；3）当但，即或时，例5 比较与的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：例6设，且，比较：与的大小。解：当时，当时，即，又，说明：求商法的基本步骤是：求商，变形，与1比大小从而确定两个数的大小.例7 实数满足条件：；，则有( )A B C D分析：先由条件分析出与的关系，根据条件利用用数轴数形结合比出大小解：，与同侧，与异侧把标在数轴上，只有下面一种情况由此

4、得出，此题选D例8已知；，求：的取值范围解：设：，由+2得：，：说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：，：此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程例9判断下列各命题的真假，并说明理由（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则解：（1），是真命题（2）可用赋值法：，有，是假命题也可这样说明：，只能确定，但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有： （3）与（2）类似，由，从而是假命题（4

5、）取特殊值：有，是假命题定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立只有异向不等式可相减，即（5），是真命题（6）定理4成立的条件为必须是正数举反例：，则有说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例例10求证：证明：利用不等式的性质，得：，例11若，则下面不等式中成立的一个是（）（A） （B） （C）（D）解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）正是异向不等式相减的结果例12若，则下面各式中恒成立的是（）（A）（B） （C）（D）分析：本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，

6、应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，继而得到且，故，因此选A例13 若，则一定成立的不等式是（）A B C D分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立例14已知：，求证：分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理证明：又由同向加性可得：例15已知集合求：分析：要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以

7、推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质解：例16 设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论如果分开讨论，则成立的条件就是本身；而成立的条件则是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的所以必须研究这两个不等式同时成立的条件显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件由，得由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件再求，同时成立的充分条件事实上，当时，必有，且，因而成立从而是不等式，同时成立的充分条件因此，两

8、个不等式，同时成立的充要条件是例17已知函数满足：则应满足（）（A）（B） （C）（D）解：故由不等式的基本性质，得：故选（C）.说明：（1）也可设，由代定系数法求得，（2）下面的错误是值得引以为戒的又故选（A）上述错误产生的原因是由于将条件化为，使、的取值范围扩大所致事实上，作为点集与之间的关系是，如图点集是图中矩形OABD所围成的区域，点集是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误巩固习题：一、选择题：1若，且，则下列不等式中一定成立的是 （ ）AB CD2对于任意实数a、b、c、d，命题：（ ）；其中真命题的个数是（ ）A1 B2C3D43设 成立的一个充要条件是（ ）ABCD4已知的取值范围是 （ ）ABCD 5已知，且，则的最小值是 （ ）A32 B CD106下列命题中，其正确的命题个数为 （ ） 的最小值是2 ； 的最小值是2； 的最小值是2； 的最小值是2； 的最小值是2，A1B2 C3D47若a，bR+,下列不等式中正确的是 （ ）ABCD8已知是正数，且，则的最小值是（ ）A6B12 C16D249设x0，y0，xy= 4，则取最小值时x的值为（ ）A1 B2 C D10甲、乙两人同时从A地出发B地，甲在前一半路程用速度，在后一半路程用速度，乙在前一半时间用速度，在后一半时间用速度，则两人中谁先到达（ ）A甲B乙C