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1、一阶微分方程,第二节,一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程,第十二章,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,可得 OMA = OAM = ,例3.
2、 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性 ,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程 :,利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,( h, k 为待,三、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,例4. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解
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