[工学]第三章静态电磁场及其边值问题的解

1、第三章静态电磁场 及其边值问题的解,静态电磁场：场量不随时间变化 静态电磁场包括：静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静电场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,3.1 静电场分析,学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1

2、.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 有何突变边界？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,静电场基本方程,积分形式,微分形式,本构关系,静电场边界条件,两种一般电介质分界面上,两种理想电介质分界面上,讨论：分界面上场矢量的折射关系,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,或,导体表面的边界条件,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围？ 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性

3、物理问题？,对静电场，由 ，即静电场可以用一个标量的梯度来表示。标量称为标量位或标量电位。,3.1.2 电位函数,电位函数定义,电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；,“”表示电场指向电位减小最快的方向；,在直角坐标系中,关于电位函数的讨论,即：,电位的泊松方程,在无源区域，,电位的拉普拉斯方程,电位方程,通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。,优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题,电荷区,电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。,电位差的计算：,电位差（电压）,电场空间中两点间电位差为：,电位参考点,仅仅根据电位函数的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可

4、对应无限多电位分布，,为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,电位参考点的选择原则:,应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点,几种基本分布电荷的电位,点电荷的电位,选取Q点为电位参考点，则,遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即,则：,点电荷在空间中产生的电位,说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点,无限长线电荷的电位,电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。,根据表达式最简单原则，选取r=1柱面为电位参考面，即,得：,无限

5、长线电流在空间中产生的电位,体电荷：,面电荷：,线电荷：,式中：,说明：若参考点在无穷远处，则c=0。,分布电荷体系在空间中产生的电位,不同媒质分界面上的静电位,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,理想介质表面,理想导体是等位体,求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。,分析：电偶极子定义,解：取无限远处为电位参考点。,电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统,电偶极矩 ：,例,两块无限大接地导体板如图放置，在两导体板间放置一面密度为 的均匀面电荷分布。 求导体板间的电位及电场。,解法一：极板间电荷满足一维拉普拉斯方程,

6、例,由电位边界条件：,故有：,解以上四式，最终可得：,解法二：直接应用场求解,由于电荷为无限大面电荷，故电场方向始终指向x方向，且电场均匀分布。 设极板间电场强度分别为 ，则有,由高斯定理,由电位关系,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用： 静电感应 静电屏蔽 关联的一般性物理问题？,3.1.3 导体系统的电容,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。,电容器在实际问题中的作用：,典型的有利作用： 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等,典型的不利作用： 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题,孤立导体的电位与其所带的电量成正比。,孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量

7、与其电位之比。即,孤立导体电容,电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q 和 无关 空气中半径为a的孤立带电球，,关于孤立导体电容的说明：,两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 和 ，导体带电量分别为Q和-Q，则定义电容器电容为：,双导体的电容,*多导体的电容(部分电容),式中：,导体与地之间电容，称导体自电容,导体之间的电容，称导体互电容,(4) 求比值 ，即得出所求电容。,(3) 由 ，求出两导体间的电位差；,计算电容的步骤：,(1) 假定两导体上分别带电荷+q 和q ； (2) 计算两导体间的电场强度E；,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介 质的特性参数有关，而与导体

8、的带电量和电位无关。,计算电容的步骤：,平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 求：平行双线单位长度的电容。（aD),解：设导线单位长度带电分别为 和 ，则易于求得，在P点处，,导线间电位差为：,例,计算同轴线内外导体间单位长度电容。,解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和 ，则内外导体间电场分布为：,则内外导体间电位差为：,内外导体间电容为：,例,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用! 关联的一般性物理问题: 静电场的能量 电容的储能,3.1.4 静电能量,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。,带电系统从没

9、有电荷分布到建立某种最终电荷分布的过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。,分布电荷静电场能量,空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为 。空间中总电场能量为：,点电荷系统的电场能量 对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为,利用函数的选择性,点电荷相互作用能,带电导体系统的能量 对N个带电导体组成的系统，各导体的电位为i，电量为qi,，表面积为Si，则导体系统的电场能量为,电场能量密度,电场能量密度：,电场总能量：,对于线性、各向同性介质，有：,考查第一项：,在上式中， 为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，,电场能量密度,式中： 为整个电场空间,电场能量密度公式推导：,由边界条件知在

10、边界两边 连续。,解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q。,同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为U。,求：1) 导体间单位长度内的电场能量 2)内外导体间电容。,例,两种方法求电场能量：,或应用导体系统能量求解公式,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,学习内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场的边界条件 3.2.3 漏电导 恒定电场与静电场的比拟,面对的问题

11、: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 有何特殊现象？ 边界有何物理量的突变？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,什么情况下会产生恒定电流场的问题？ 导电媒质中存在电场的时候！,恒定电场与静电场的区别： （1）恒定电场可以存在于非理想导体内部，而静电场不能 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,恒定电场和静电场相同点：1、均为有源无旋场 2、大小均不随时间改变,恒定电场和静电场比较,3.2.1 恒定电场的基本方程,恒定电场的基本量：,恒定电场基本方程,微分形式：,积分形式：,本构关系：,3.2.2 恒定电场的边界条件,

12、用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场基本方程中的 代换为 ，则两者基本方程形式完全相同。,的边界条件,的边界条件,讨论：,导电媒质（2 1）：介质表面上电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，导电媒质表面不是等位面； 媒质2为良导体（2 1）：10，即电场线近似垂直于与导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面； 媒质1为理想介质（10）：则J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即导体中的电流和电场与分界面平行。,关于恒定电场边界条件的几点说明,面对的问题！ 分析方法： 哪些方法最适合？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,什么情况下会产生恒定电流场的问题

13、？ 导电媒质中存在电场的时候！ 分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法 ,（1）利用导电媒质的本构关系,表示电场强度,基于电流求解分析恒定电场问题的方法,（2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量,电位函数满足Laplace方程,基于电位求解分析恒定电场问题的方法,电位的边界条件,例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z方向。,面对的问题！ 分析方法！ 典型应用： 导体的电阻和电导 关联的一般性物理问题？,电阻和电导,3.2.3 恒定电场与静电场

14、比拟,如果两种场具有相同形式场的方程、相同的边界形状、等效的边界条件，则其解形式也必相同；如能求出一种场的解，则可通过替换对应物理量而得到另一种场的解。,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,恒定电场（电源外）,比拟法思路：,对应物理量,静电场,恒定电场,静电比拟法应用： 相同导体结构分别填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表达式中对应量，可由G求C，或由C求G。,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,恒定电场（电源外）,例1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充介质0，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的、E和单

15、位长度的漏电电导。,解法一：内外导体内Ez=0，且表面是等位面，介质中电位只是r 的函数，满足拉氏方程为,解法二：静电比拟法：,填充理想介质时：,内外导体电势差：,由静电比拟，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：,解法三： 设同轴线单位长度由内导体流向外导体电流强度为 ,则,内外导体间电位差为：,内外导体间单位长度漏电导：,内外导体间电场分布：,内外导体间电位分布：,面对的问题！ 分析方法！ 典型应用！ 关联的一般性物理问题： 功耗,导体媒质的功耗,功耗密度和功耗,一、静止电荷产生的场（静电场）,导体内部的静电场为零 导体表面的切向电场为零 等势体 导体内部的电荷为零 电荷只能位于导体表面，密集

16、于表面尖锐部分 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， ,静态电场的典型现象和结论,二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）,导电媒质（ ）内部可存在电场 导电媒质表面的切向电场一般非零 非等势体 导电媒质内部可有运动电荷，但净电荷量为零 净电荷只能位于导体表面 理想导体（ ）内部电场为零，电流为零 理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体,静态电场的典型现象和结论,进一步理解静电场和恒定电场,思考题：,导电媒质,U,求：1） ；2）储能或功耗？,导电媒质,w,t,0,t,U,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,3.

17、3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3.4 恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力,3.3 恒定磁场分析,面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 突变边界上有何现象？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态（恒定）磁场问题,2. 边界条件（一般性问题）,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程（一般性问题）,积分形式：,或,3.3.1 恒定磁场的基本方程及边界条件,在两种理想磁介质分界面上,在理想导体分界面上,面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范

18、围？ 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位,矢量磁位的引入,式中： 称为恒定磁场的矢量磁位。,如何求出？,优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度。,库仑规范,要求： 与 间满足一一对应关系。,矢量位的任意性 矢量位A不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场。,库仑规范条件,在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令,注意：规范条件是人为引入的限定条件。,应用库仑规范 ，得：,矢量磁位的微分方程,由矢量恒等式：,上式变为：,在无源区：,矢量磁位的求解,无限大均匀媒质空间中的问题,类比方法求解,矢量磁位的求

19、解（续）,存在不同媒质分界面的问题,磁矢位的边界条件,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用： 电感（自感、互感） 关联的一般性物理问题？,磁通与磁链,3.3.3 电感,C,回路,磁通,磁链,C,I,电流回路,与所有电流回路铰链的总磁通,计入电流存在的所有回路 每个回路是计入与之铰链的全部磁通,I,n为与磁通 铰链的总电流对载流为I 的回路之比,单匝线圈,多匝线圈,粗导线回路,磁链计算,o :外磁链； i :内磁链,若为细导线线圈密绕，n等于线圈匝数N（整数）,电感的定义,定义：穿过某电流回路的磁链与回路中电流强度之比。,自感,若某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路自身C所形成的自感磁链为

20、，则定义回路C的自感系数为：,特征：磁链是I自已产生的,回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。,若回路为N匝线圈密绕，则,若回路导线直径较粗，则回路自感为内自感和外自感之和,关于回路自感的讨论,为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感,式中： 为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感,例 求双传输线单位长度自感。设导线半径为a，导线间距为D。(Da),分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。,解：由安培环路定律，可以求得在导体间磁感应强度分布：,则导体间单位长度的磁通量为,互感,回路C1与回路C2交链的磁通量为 ，则回路C1对C2的互感系

21、数为：,同理定义回路C2对C1的互感系数为：,思考： 1总 =？； 2总 =？,纽曼公式,互感性质：,1、互易性：,2、大小只与回路几何性质、相对位置和周围介质有关。,纽曼公式,诺伊曼公式给出了两个简单回路间互感的计算方法。,诺伊曼公式,同理：,面对的问题！ 分析求解方法！ 典型应用！ 关联的一般性物理问题： 磁场能量 电感的储能,3.3.4 恒定磁场能量,若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：,式中： 为体电流 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。,体电流的磁场能量,关于体电流磁场能量表达式的说明,只适用于恒定磁场 积分可以只在 0的区域进行 被积函数 不代表能量密度，虽然积分是在有

22、电流的空间中进行，但能量是分布在整个有磁场存在的空间,电流回路系统的磁场能量,N个回路系统，i回路自感为 ，i回路与j回路间互感为 ，i回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为:,若回路为单回路系统，则,若回路为双回路系统，则,关于电流回路系统磁场能量的讨论,磁场能量密度：,磁场能量：,对于线性各向同性媒质，则有,磁场能量密度,得：磁能密度为,磁场能量密度公式推导：,若回路载流为I，其在空间中产生的磁场为H，则由能量关系，可得,讨论：利用磁能求单回路电感,例 求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。,解：设导体内电流为I，则由安培环路定律,则导体内单位长度磁能为,例 求内外半径分别为a和b的无限

23、长同轴线单位长度的自感,解：在内外导体之间，,由上题（例1）得,3.4 静电场的边值问题及唯一性定理,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,直接针对场量计算的静态电磁场分析方法,电位函数满足Poisson方程,基于电位求解分析静态电场问题的方法,电位的边界条件,通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法,磁矢位的边界条件,磁矢位函数满足Poisson方程,基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法,具有强对称性的问题,无限大的均匀媒质空间中的问题,已经学习掌握的分析能力,待求场量或位函数具有单一坐标变量依赖的特征！,（一维问题）,（包括高维问题）,对于高维问题(多自变量) 如何着手分

24、析？ 求解边值问题！ 边值问题的描述 边值问题的解法,3.4 静态场的边值问题,讨论内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理,边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法,3.4.1 边值问题的类型,第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。,狄里赫利问题,第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。,纽曼问题,第三类边值问题：已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。,混合边值问题,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法

25、 镜像法 分离变量法 有限差分法 .,3.4.2 唯一性定理,若区域V内的电荷分布和介质分布 确定，在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则拉普拉斯方程或泊松方程在区域V内的解唯一。,说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。,唯一性定理的意义,1、给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 2、为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 3、为求解结果的正确性提供了判据,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法 镜像法 分离变量法 有限差分法 .,3.5.1 镜像法的基本原理 3.5.2 接地导体平面的镜像 3.5.3 导体球面的镜像 3.5.4 导体圆柱面的镜像 3.5.5

26、 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像,3.5 镜像法,3.5.1 镜像法的基本原理,几个实例：,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷产生的电位替代。,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,问题的提出,接地导体球附近点电荷产生的电位,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷产生的电位替代,等效方法： 利用等效点电荷等效非均匀分布电荷的作用，简化问题的求解。由于等效点电荷位于结构的镜像位置，故称此方法为镜像法。,问题：,镜像法原理,方法：在求解域外适当位置放置虚拟等效

27、电荷，等效电荷等效分界面存在的影响（实际为感应面电荷或极化面电荷的作用） 目的：将复杂的边值问题化为无限大单一媒质空间的问题,这种等效是否合理？,解的惟一性定理,镜像法的理论基础,镜像电荷的引入，如满足： 电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 则求得的解就是正确的。,惟一性定理,镜像电荷位置选择原则：,镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件,镜像电荷必须位于求解区域以外（不改变电位方程）,等效求解的“有效场域”,镜像电荷的确定（像电荷的个数、位置及其电量大小）,镜像法应用的步骤：,应用无界空间场计算方法求解,3.5.2 接地导体平面的镜象,点电荷对无限大接地平

28、面导体边界的镜像,有效区域,原电荷： 镜像电荷: (求解域外) 等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同,在z0空间内的电位分布为：,即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。,无限大接地导体分界面上感应电荷,线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像,在z0空间的电位分布为：,等效问题：,点电荷对相交接地平面导体边界的镜像,要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。,R,R1,R2,R3,电位函数：,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来

29、源于导体板上的感应电荷。 由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq替代。当电荷q移至x时，像电荷q应位于x，则有,例 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？。,q,q,x, =,0,d,-d,3.5.3 导体球面的镜像,点电荷对接地球面导体边界的镜像,镜像电荷的确定,由镜像法原理： 镜像电荷位于球内区域，且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为0。,问题：,由于球面结构对称，故镜像电荷必位于球心与点电荷连线上，设距离球心距离 ，则,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷

30、面密度为,接地导体球边界静电问题分析,当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。 可以求得镜像电荷：,| q|q|，可见球外的等效电荷量大于球内电荷量 像电荷的位置和电量与外半径b无关（为什么？）,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,镜像电荷的确定,球壳内的电位,感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为,导体球面的内表面上的总感应电荷为,可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。,电荷位于接地球壳内静电问题分析,点电荷对不接地球面导体边界的镜像,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面；,球面上既有

31、感应负电荷分布也有感应正电荷分布，其中,负电荷分布与接地球球分布相同 正电荷均匀分布,镜像电荷的确定,镜像电荷1：,镜像电荷2：,(位于球心),与 共同使使球面电位为0,使球面为等势面,球外空间电位：,总的感应电荷为零。,真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距离球心距离为d（da）。求： （1）导体球接地时空间电位分布及电荷Q所受的电场力； （2）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q所受的电场力；,解:(1)当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q，不存在边界的问题。 易知：,例,则球外空间任意点 处电位为：,导体球接地，因此球内空间电位为0，即：,电荷

32、Q受静电力为：,(2)当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q和q，不存在边界的问题。 易知：,位置位于球心。,则球外空间任意点 处电位为：,用镜像法要求分析求解的问题,1. 平面（接地）导体 2. 球面（接地）导体（包括球内、球外） 3. 球面（不接地）导体（包括球内、球外） 思考题： 求不接地无限大导体上点电荷的电位函数？,求解边值问题： 边值问题的描述 边值问题的解法 镜象法 分离变量法 有限差分法 .,3.6 直角坐标系中的分离变量法,3.6.1 分离变量法解题的基本原理 3.6.2 直角坐标系中的分离变量法 3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法 3.6.4

33、球坐标系中的分离变量法,1、将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个只含一个变量的函数的乘积，进而把偏微分方程分解成n个常微分方程； 2、求出分解后的各常微分方程的通解，并将它们线性叠加起来，得到待求函数级数形式通解； 3、并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,属于解析法的一种，可以给出解的精确表达式。,分离变量法的理论依据：惟一性定理,分离变量法解题的基本思路：,3.6.1 分离变量法解题的基本原理,一、建立求解方程：,导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即,问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为U，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,求解实例：,二、建立边界条件：,三、分离变量，求解拉普拉斯方程通解,很明显， 为x,y的函数。则可令,代入方程得,仅与x变量有关,仅为y变量有关,要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令,分离常数,通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。,解常微分方程（kn取值不同解形式不同）：,当kn=0时：,当kn0时：,由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量kn可以取一系列特定的值(n=