线性代数第1章第3节行列式性质

1、1,第一章 行列式,第三节 行列式的性质,一、行列式的性质,二、利用行列式的性质计算行列式,2,引 言 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题n 阶行列式一共有 n! 项，计算它就需要做 n!(n-1) 个乘法当n 较大时，n! 是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事 如对于一个18阶行列式，假定计算作一次乘法运算的时间需要 10-6 秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接计算 18 阶行列式的值需要的时间（以每天工作8小时计）竞多达200年！ 因此有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质可以化简行列式的计算,3,一、行列式的性质,将行列式D的行与列互换后得

2、到的行列式，称为D的转置行列式，记为DT或D即如果,则,4,证明：,则,由行列式定义,说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然,性质1：,行列式与它的转置行列式相等，即D=DT,5,例：,6,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号,证明：,设,交换s、t 两行，得,s行,t行,7,由行列式定义可知，D中任一项可以写成,因为,（2）,（1）,显然这是D1,中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且,（2）式右端的n个元素是按它们在D1,中所处的行标为自然顺序,排好的因此,是,中的一项,（3）,8,因为，排列,与排列,的,奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符

3、号，这就证明 了D的任一项的反号是D1,中的项，同样可以证明,D1中的,任一项的反号也是D中的项,因此，DD1,记法,行列式的第s行：,行列式的第s列：,交换s、t两行：,交换s、t两列：,推论：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 ,证明：,把相同的两行互换，有DD，所以 D0,9,性质3：,用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式,推论：,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面,记法,第s 行乘以k：,第s 列乘以k:,推论：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列 式等于0 ,10,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就

4、等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样,11,12,例：计算,分析：,13,注意，一般说来,因为,14,例：设abcd =1， 计算行列式,解：,15,16,性质5：,行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变,记法,数k乘第 t 行加到第 s 行上：,证明：,作,17,得,18,行列式的性质在行列式的理论研究与行列式的计算上都有重要作用，要注意正确使用行列式的性质 (1)每次交换行列式的两行（列），行列式都要变号; (2)对n阶行列式有| kaij | = kn | aij | ； (3)正确使用行列式性

5、质5，将行列式第j行（列）乘k，加于第i行（列）上，行列式的值不变但若将行列式第i行（列）乘k，再将第j行（列）或第j行（列）的若干倍加在第i行（列）上，这样构成的行列式等于原行列式乘k,19,例：设行列式,则,20,21,例：设Aj 表示行列式| aij | (i, j = 1, 2, 3, 4)的第 j 列( j = 1, 2, 3, 4)，已知| aij | =2，求,解：,22,例：设行列式| aij | = m，（i,j =1,2,3,4,5)，依下列次序对| aij |进行变换后，求其结果 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用( 3)乘以第二列加于第四列，最后用4除第二

6、行各元素,分析：,所以最终结果为 8m.,8 m,m,m,25 m,25 m,2乘所有元素,转置,23,例：用行列式性质证明,证明：,24,(1),上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）,(2),下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）,二、利用行列式的性质计算行列式,25,例：利用行列式的性质计算行列式,分析：,用行列式的定义计算,或,26,用行列式性质计算,27,例：计算行列式,解：,原式,28,例：计算行列式,解：,29,30,化一般行列式为上三角行列式的步骤： 如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换，使第一列第一个元素不为0； 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0； 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 依次作下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值,31,例：计算行列式,解：,原式,32,例：计算行列式,解：,33,34,例：计算行列式,解：,D,35,36,例：计算行列式,解一：,原式,37,原式,例：计算行列式,解二：,38,例：计算 n 阶行列式,解：,39,40,例：计算n阶行列式,解一：,41,解法二：,42,例：计算n阶行列式,解：,43,44,例：计算行列式,解：,45,46,例：计算行列