复合函数求导练习题

1、 复合函数求导练习题 1. 简单函数的定义求导的方法 求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f?lim ?x?0?x 求平均变化率 2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。常用的导数公式及求导法则： 公式 C?0， ?sinx ?cosx ?nxn?1 ?ex ?axlna ? 11 ? xlnax11 cotx)? 法则：f?g?f?g， fg?fg?gf ffg?gf ?2 gg 例： 32 y?xx?4y? ? sinx x y?3cosx?4sinx y?2x?3? y?ln?x?2? 2 复合

2、函数的导数 如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f ?在点x处也可导，并且 )= 或记作 熟记链式法则 若y= f ，u=? y= f ?，则 f? ?u?y?x=yux y?x=f? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f ?)，则 ? y?x=f? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ?4 ，u?1?3x，则 设y?u ?4 yx?yu?ux?u?x ?4u ?5 ?12u

3、?5?12?5? 12 例2求y?x 的导数 1?x 15 解：y? ?x? ?， ?1?x? ?45 1?x?y? 5?1?x?x?1?x?1?x51?x? 4 ? 4 5 ? 1?x?x 2 1?x?5?1?x? ? 45 ?11?5 ?x5 5 6 例求下列函数的导数 y?2x 解：y ?3?2x 令u=-2x，则有y= u，u=-2x ?u?yux 由复合函数求导法则y?x 有y= ? u?x=1? 2?2x 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果： y= 123?2x ? 1?2x 在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更

4、简练地写出求导过程： y= 12?2x ? 1?2x 例4求下列函数的导数 y= ?2xcos x y=ln 解：y=由于y= 而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积， 又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是 y=cos x -?2xsin x cosx-?2xsin x= ?cosx?2x 2?2x -?2xsin x y=ln )是u= x+ ?x2 与y=ln u复合而成，所以对此函数 求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以 1x?x2 ? 1+

5、= 1x?x2 ?1? ? ? ? 2?x2?2x = 1x?x2 ? x?x2 ?x2 = 1?x2 例 设y?ln 求 y?. 解 利用复合函数求导法求导，得 y?ln? 1x?x?1 2 ? ? 1x?x2?1 1? ? 1x?x?1 2 1? 12x?1 2 ? 1x?x?1 2 1? xx?1 2 ? 1x?1 2 . 1求下函数的导数. y?cos y= y=5y=y= y=2 x y?3 ?112 y= y=siny=cos3 63x?1 c3； ?y?sinx2；?y?o 1求下列函数的导数 y =sinx3+sin33x； y? ? 4 ?x)； ?y?lnsin sin2x

6、 logax?1 技能演练 基 础 强 化 1函数ycosnx的复合过程正确的是 Ayun，ucosxn Byt，tcosnx Cytn，tcosx Dycost，txn 答案 C 2yex21的导数是 Aye 22 x2 1 By2xeDye x2 1 x 2 1 Cye解析 ye答案 B 3下列函数在x0处没有切线的是 Ay3x2cosx1 Cy2x x x2 1 xx 2 1 e 2 2x. Byxsinx 1 Dy cosx 11 解析 因为y2x在x0处没定义，所以y2x在x0处没有切线 xx答案 C 4与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是 A2xy30C2xy10 解析

7、设切点为，则斜率k2x02， x01，切点为 故切线方程为y12，即2xy10. 答案 D 5yloga的导数是x ?2x1?lna1?2x1?lna 4xB.2x12x21lnaB2xy30 D2xy10 14x 解析 yx21)?2x1?lna?2x1?lna答案 A 6已知函数fax1，且f2，则a的值为 Aa1Ca 11 解析 f 22 1 2ax 2ax1ax ax1 BaDa0 由f2， 得 a 2，a2. a1 答案 B 7曲线ysin2x在点M处的切线方程是_ 解析 ycos2x2cos2x， ky|x2. 又过点，所以切线方程为y2 答案 y2 f?x?8fe2x2x，则_.

8、 e1 解析 f2e2x22 f?x?2?e2x1?2 e1e1答案 能 力 提 升 9已知函数f2x3ax与gbx2c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线求实数a，b，c的值 解 函数f2x3ax与gbx2c的图像都过点P， ?2232a0，?得a8,4bc0， ?b2c0，? f2x38x，f6x28. 又当x2时，f16，g4b， 4b16，b4，c16. a8，b4，c16. 1 10已知函数flnx，g2a，直线l与函数f、g的图像都相切， 2 且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值 1 解 flnx，f，f1， x即直线l的斜率为1，切点为 直线l的方程为yx1

9、. yx1，?1 又l与g的图像也相切，等价于方程组?1x2x1a ?y22a2 0有两个相等的实根， 14120，a1 2 品 味 高 考 11曲线ye 2x 1在点处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为e 2x 2e 2x ， ky|x02e02， 切线方程为y22， 即y2x2. 如图，由?y2x2，?得交点坐标为， y2x2与x轴的交点坐标为， 所求面积为S12121 33. 答案 A 12若曲线yx2axb在点处的切线方程是xy10，则 ) Aa1，b1Ca1，b1 解析 yx2axb，y2xa. 在点处的切线方程是xy10， fa1. Ba1，b1 Da1，b1 又0b10，

10、b1. 答案 A 函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法 求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f?lim ?x?0?x 求平均变化率 2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。常用的导数公式及求导法则： 公式 C?0， ?sinx ?cosx ?nxn?1 ?ex ?axlna ? 11 ? xlnax11 cotx)? 法则：f?g?f?g， fg?fg?gf ffg?gf ?2 gg 例： 32 y?xx?4y? ? sinx x y?3cosx?4sinx y?2x?3? y?ln?x?2? 2

11、 复合函数的导数 如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f ?在点x处也可导，并且 )= 或记作 熟记链式法则 若y= f ，u=? y= f ?，则 f? ?u?y?x=yux y?x=f? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f ?)，则 y? x=f? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ?4 ?4 设y?u，u?1?3x，则 yx?yu?ux?u?x ?4u ?5 ?12

12、u?5?12?5? 12 例2求y?x 的导数 1?x 15 解：y? ?x? ?， ?1?x? ?45 1?x?y? 5?1?x?x?1?x?1?x?5?1?x? 4 ? 45 ? 1?x?x 2 1?x?5?1?x? ? 45 ?11?5 ?x5 5 6 例求下列函数的导数 y?2x 解：y ?3?2x 令u=-2x，则有y= u，u=-2x ?u?yux 由复合函数求导法则y?x 有y= ? u?x=1? 2u3?2x 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果： y= 123?2x ? 1?2x 在运用复合函数求导法则很熟练之后

13、，可以更简练地写出求导过程： y= 12?2x ? 1?2x 例4求下列函数的导数 y= ?2xcos x y=ln 解：y=由于y= 而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积， 又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是 y=cos x -?2xsin x cosx-?2xsin x= ?cosx?2x -?2xsin x 2?2x y=ln )是u= x+ ?x2 与y=ln u复合而成，所以对此函数 求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以 1x?x2 ? 1+= 1x?x2 ?1? ? ? ? 2?x2?2x = 1x?x2 ? x?x2 ?x2 = 1?x2 例 设y?ln 求 y?. 解 利用复合函数求导法求导，得 y?ln? 1x?x?1 2 ? ? 1x?x2?1 1? ? 1x?x?1 2 1? 12x?1 2 ? 1x?x?1 2 1? xx?1 2 ? 1x?1 2 . 小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐