多维随机变量的特征数课件

1、,多媒体教学课件,Department of Mathematics,概率论与数理统计,主讲人：,2012年.,第四节 多维随机变量的特征数,一、多维随机变量函数的数学期望,（1）若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为,则Z=g(X,Y) 的数学期望为,（2）如果Z=g(X,Y)是二维连续型随机变量，联合概率 密度为f(x,y) ,则Z=g(X,Y)的数学期望为,特别地，若取 g(X,Y)=X, 可以得到X的期望为,离散,连续,例1 在长度为a 的线段上任取两个点X和Y,求这两 点间的平均长度。,解：因为X、Y独立，且都服从 U(0, a).,所以（X,Y）的联合密度函数为,积分计算 须

2、分区域.,注意：直接代公式较麻烦，可以先求Y的分布.,二、数学期望与方差的性质,线性,该方法称为分解随机变量法,求期望不需要独立性,分析：直接写出X的分布非常困难，因为每一只球可能多次被摸到.,考虑每一种颜色的球是否被摸到.,引入随机变量如下：,例5 设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。,例5 设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。,例6.投硬币n次,设X为出现正面后紧接反面的次数， 求 E(X) .,三、协方差,协方

3、差也称为相关中心矩。,联合分布中各分量间的关系,注意：,详见协方差的性质,协方差的主要性质:,注：以上性质可用定义及期望的性质来证明.,反之不能成立！,补充说明：,四、相关系数,在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响，引入了相关系数的概念。,引理 施瓦茨不等式,证：,注：施瓦茨不等式表明相关系数的取值范围是,相关系数的性质：,当=0时，称X,Y不相关；,当=1时，称X, Y几乎处处有线性关系.,补充说明,相关系数(X,Y)刻画了随机变量X、Y间线性相关的程度。=1时，表示X、Y几乎处处具有线性关系；=0时，表示X、Y不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不具有

4、任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关=0是等价的。 与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的比较。,注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。,例12 【投资风险组合】设有一笔资金,总量为1,如 今要投资甲、乙两种证券。若将资金x1投入甲证券，余下资金x2=1-x1投入乙证券，于是就形成了一个投资组合。记X为投资甲证券的收益率，Y为投资乙证券的收益率，它们都是随机变量。若已知X、Y的均值和方差分别是1 ，2 和12，22 ，X和Y的相关系数为。试求该投资组合的平均收益和风险，并求使风险最小的x1是多少？,解：因为该组合的收益为,所以平均收益为,风险（方差）为,按照求函数极值的方法可求出,这时，该组合投资的风险最小。,五、随机向量的数学期望与协方差阵,对于多维随机变量，我们以矩阵的形式给出其 数学期望和方差。,为随机向量的方差协方差阵，简称协方差阵，,协方差阵的重要性质,n维随机向量的协方差阵,是一个对称