采矿09级材料力学-2.ppt

1、CHAP 9 梁的弯曲问题（4）-位移分析与刚度计算,9.1 梁的变形与梁的位移 9.2 梁的小挠度微分方及其几分 9.3 叠加法确定梁的挠度与转角 9.4 梁的刚度计算 9.5 简单的静不定梁 9.6 结论与讨论,9.1 梁的变形与位移,9.1.1 应力分析中得到的结论-杆件微段变形 由前面所学知，微段变形与杆件内力的关系,轴向应变与轴向力,y向曲率与 y向弯矩,z向曲率与z向弯矩,相对扭转角与扭矩,此外还有：,9.1 变形与位移的相依关系,9.1.2 总体变形与位移 1.杆件的轴向变形与位移,当杆件一端固定时可求位移,2.杆件的弯曲挠度与转角,因为,所以,9.1 变形与位移的相依关系,3.

2、圆轴扭转变形与相对转角 AB两端相对转角,多力偶作用于一轴,9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,8.2.1 小挠度微分方程 关于符号：数学习惯上凹曲线二阶导数为正。由于本课程去w坐标向下为正，故上式中取负号，故,(1)梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续曲线。,9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,(2)梁位移的度量：,挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向下的挠度为正,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正,转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系,(3)计算位移的目的： 刚度校核、解超静定梁、适当施工措施,9.2.2、小挠度微分方程的积分与积分常数的确定,(1),式中： C1、C2

3、为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 对于简支梁 x=0, w=o ; x=l, w=0 对于悬臂梁 x=?, w=0; x=? dw/dx=0(=0),9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,(2)支承条件与连续条件:,1) 支承条件：,2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的,梁的弯曲位移,9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,例 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。,解： 1、求支反力,9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,分段区间,弯矩方程,转角计算,挠度计算,9.2 梁的小挠度微分方程及其积分,9.3 叠加法确定梁的挠度与转角,9.3.1 多个荷载作用的情形 几个荷载共同作用下梁任意横截面上

4、的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。 例如：,=,=,+,+,+,9.3 工程中计算梁位移的叠加法,9.3.2 间断分布荷载作用的情形 注意：可采用负荷载法 例如：,=,+,9.3 工程中计算梁位移的叠加法,9.3.3 斜弯曲的情形,9.4.1 梁的刚度校核,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,通常情况，强度条件满足，刚度条件一般也满足。,但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。,9.4 梁的刚度问题,例题 一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，

5、许用挠度w=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,解： 1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,由此得,由型钢表中查得，No.22a工字钢 抗弯截面系数 Wz3.09xl0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40 x10-5m4 选择No.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。,9.4 梁的刚度问题,9.4.2 提高梁的刚度措施,2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。,1.增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大 I 值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等

6、。,9.4 梁的刚度问题,例题8-59-6，Page 201204,9.5 简单的静不定问题,9.5.1 超静定问题的概念 超静定问题：未知力个数大于独立平衡方程数 多余约束问题 超静定的次数 9.5.2 求解超静定问题的方法 变形协调关系的利用-变形协调方程 变形协调关系有赖于力与变形的关系-本构关系 步骤：判定静不定次数（多余约束） 选择合适的多余约束，去掉并代之以力 多余约束处变形协调条件-变形协调方程 解出多余约束力及其它未知力 例题 9-79-8， Page 205208,9.4 简单的超静定问题,9.5.3 几种简单的超静定问题 1.拉压超静定问题 参考书一之例题13-4， pag

7、e 316 2.扭转超静定问题 参考书一之例：fig 13-14, page 318 3.简单的超静定梁 Exam : fig 13-15(b), page 318,9.5 结论与讨论,9.5.1 小挠度微分方程的适用条件 小挠度、弹性 9.5.2 变形与位移的相依关系 位移是杆件各部分变形的累加结果 变形就一定有位移，位移不一定有变形 9.6.3 梁变形后是一条连续光华的曲线 例9-9，Page 209 9.6.4 求静不定问题的讨论 除平衡方程外，还需变形协调条件与物理条件 可以根据小变形原理，先将一个或几个未知力变为已知 为建变形协调方程，去掉多余约束代之以力 9.6.5 关于静不定结构

8、特性各构件刚度之间的关系,CHAP 10 压杆的稳定问题,10.1 压杆稳定的基本概念 10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法 10.3 柔度 非弹性屈曲 10.4 压杆失效与稳定性设计准则 10.5 应用举例,10.1.1 弹性压杆的平衡构形 分叉屈曲,干扰力去除，恢复直线,a)直线稳态,干扰力去除，保持微弯,b)微弯平衡,分叉荷载（临界荷载）： 直线稳态与屈曲稳态荷载的临界值,10.1 弹性体平衡构形稳定性的基本概念,一、稳定与失稳,1.压杆稳定性：压杆维持其自身平衡状态的能力；,2.压杆失稳：压杆丧失其自身平衡状态，不能稳定工作。,3.压杆失稳原因：,杆轴线本身不直(初曲率)； 加载偏

9、心； 压杆材质不均匀； 外界干扰力。,二、中心受压直杆稳定性分析,1.临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；,2.临界载荷(分叉载荷）FPcr：描述压杆的稳定能力，压杆临界状态所受到的轴向压力。,10.1 弹性体平衡构形稳定性的基本概念,干扰力去除，恢复直线,a)直线稳态,干扰力去除，保持微弯,干扰力去除，继续 变形，直至倒塌,c)失稳,b)微弯平衡,10.1 弹性体平衡构形稳定性的基本概念,10.1.2 弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡构形： 结构构件在压缩荷载或其它特定荷载作用下，保持平衡的位置 稳定的初始平衡构形： 构件受微小扰动，偏离初始平衡构形；除去扰动，构件恢复到初

10、始平衡构形 不稳定的初始平衡构形： 构件受微小扰动，偏离初始平衡构形；除去扰动，构件不能恢复到初始平衡构形 失稳（屈曲）： 任意微小的外界扰动，使构件转变成其它形式的平衡构形。,10.1 弹性体平衡构形稳定性的基本概念,10.2.1 两端铰支压杆的临界力,1.思路： 求FPcr临界状态(微弯)弯曲变形挠曲线微分方程；,2.推导：,3.两端铰支压杆的临界力(欧拉公式)：,4.注意： （1）弯矩以最终平衡位置 （2）I 应为压杆横截面的最小惯性矩,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,10.2.2 其它刚性支撑的压杆,欧拉公式的一般形式:,m l：相当

11、长度 m：长度系数,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,例1 一端固定，另一端自由的细长压杆如图所示。试导出其临界力的欧拉公式。,例2 导出一端固定、另一端铰支压杆临界力的 欧拉公式。,例题：,例3 试导出两端固定压杆的欧拉公式。,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,失稳模式如图,相当于2L长两端铰支压杆的临界力,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,失稳模式如图,相当于0.7L长两端铰支压杆的临界力,A端QA、MA及B端QB不为零。,10.2 确定分叉（临界）荷载的平衡方法,失稳模式如图,相当于0.5L长两端铰支压杆的临界力,两端M均不为零。,10.2 确定分叉（临界）荷载的

12、平衡方法,10.3 柔度 非弹性屈曲,欧拉公式的适用范围：材料处于弹性阶段 要求：,分叉荷载尚未计算出来时不能判定材料是否处于弹性,屈曲问题：弹性屈曲-非弹性屈曲-无屈曲（强度问题）,计算分叉荷载前判断是否屈曲，是否弹性屈曲，引入柔度的概念,柔度：反应压杆屈曲难易程度的指标。它与压杆长度、约束条件、截面尺寸、截面形状有关,式中 i 为压杆横截面的惯性半径,10.3 柔度 非弹性屈曲,1.大柔度杆（细长杆） 柔度大于或等于某个极限值 P时，压杆将弹性屈曲。 此时压杆中的正应力不超过材料的比例极限。 2.中柔度杆（中长杆） 柔度小于P ，但大于或等于另一极限值s ，压杆也会屈曲。 直线平衡构形下横

13、截面 上的正应力已经超过比例极限，截面上某些部位已经进入塑性状态。称为非弹性屈曲。 3.小柔度杆（粗短杆） 柔度小于极限值s ，压杆不会发生屈曲，但可能屈服,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,10.4.1 压杆失效的不同类型 大柔度杆：失稳失效 中柔度杆：可能失稳失效 或局部屈服失效 小柔度杆：屈服失效,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,10.5.2 三类压杆的临界应力 1.结构钢 细长杆：,柔度(细长比)：, 横截面对微弯中性轴的惯性半径；,欧拉临界应力公式：,(P）,10.4 压杆失效与稳定性设计准则, 对于中长杆与粗短杆,当=0 时，cr=s，所以0=s,在双曲线与抛物线连接处，取c

14、r = 0.5s 则,( P）,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,2.铸铁、铝合金与木材 细长杆,(P）, 中长杆,(s P）, 粗短杆,或,(s）,采用直线经验公式的临界应力总图,采用抛物线经验公式的临界应力总图,临界应力总图,压杆按柔度分类：,细长杆(大柔度杆),中长杆(中柔度杆),粗短杆(小柔度杆),10.4 压杆失效与稳定性设计准则,10.4.3 压杆的稳定性设计准则,1.压杆稳定条件：,三方面工作：确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计(逼近法)；,确定nst，除考虑确定安全因数的一般原则外，还应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故 nst ns或 nb,稳定因数法确定设计准则,

15、2、稳定条件可写成：,sst稳定许用应力； s许用压应力； j1折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,例 确定图示连杆的许用压力FPcr。已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4，sp=240MPa，E=2.1105MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。,若在x-y面内失稳，m=1，柔度为：,解：(1)失稳形式判断：,若在x-z平面内失稳，m=0.5，柔度为：,所以连杆可能在xy平面内失稳，其许用压力应由lz决定。,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,(2)确定许用压力：,由表11-2查得硅

16、钢：a=578MPa，b=3.744MPa，ss=353MPa，计算有关的lp和ls为：,可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：,由此得连杆的许用压力为：,(3)讨论：在此连杆中：lz=73.7，ly=39.9，两者相差较大。最理想的设计是ly= lz，以达到材尽其用的目的。,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,1.细长压杆：提高弹性模量E 2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss,10.4.4 提高稳定性的措施,1.采用合理的截面形状： 各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I采用空心截面； 压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等，可采用两个主惯性矩

17、不同的截面，如矩形、工字形等。,（二）、从柔度方面考虑,（一）、从材料方面考虑,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,2.减少压杆支承长度： 直接减少压杆长度； 增加中间支承； 整体稳定性与局部稳定性相近,3.加固杆端约束： 尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。,10.4 压杆失效与稳定性设计准则,10.5 应用举例,CHAP 11 材料的疲劳与构件的疲劳寿命,11.1 材料疲劳的概念 11.2 影响疲劳寿命的因素 11.3 有限寿命设计与无限寿命设计 11.4 疲劳强度可靠性概述,11.1 材料疲劳的概念,11.1.1 几个术语 交变应力：应力随时间变化，分规则交变和不规则交变 应力循环：规则

18、交变应力变化的一个周期 应力比：应力循环中最小应力与最大应力的比值,平均应力：最大应力与最小应力的平均值,应力幅值：应力变化幅度的一半,11.1 材料疲劳的概念,最大应力：应力循环中的最大值Smax 最小应力：应力循环中的最小值Smin 对称循环：应力的大小关于时间轴对称 Smax=Smin，r = -1，Sm=0，Sa=Smax 脉冲循环：最小应力等于的规则应力循环，r=0 静应力：应力不随时间变化，r=1, Smax=Smin=Sm=0，Sa=0 微裂纹：裂纹长度10-10-m 宏观裂纹：裂纹长度大于10-4m 11.1.2 疲劳失效的特征 构件在交变应力的作用下，内部微小裂纹逐渐扩展，直

19、至失效 1.破坏时名义应力值 远小于 材料在静荷载作用下的强度 2.破坏需要一定数量的应力循环 3.破坏前没有明显的塑性变形-脆性破坏 4.早期裂纹在破坏前明显压得光滑 5.断裂口分疲劳源区、疲劳扩展区、瞬间断裂区,11.1 材料疲劳的概念,11.1.3 疲劳极限与应力寿命曲线 疲劳极限：经过无穷多次应力循环，不破坏时的最大应力 应力循环试验：,最大应力与循环次数的关系,疲劳极限：应力比为r，则用Sr表示 对称循环下的疲劳极限S-1,水平渐进线的纵坐标-疲劳极限,没有渐进线的曲线，规定2000万次循环不破坏的最大应力值为疲劳极限,11.2 影响疲劳寿命的因素,11.2.1 应力集中的影响-有效

20、应力集中因素 应力集中的概念： 理论应力集中因素：,理论应力集中因素只考虑构件的几何尺寸影响，没有考虑材料对应力集中的敏感度,有效应力集中因素：材料、尺寸、加载相同，光滑试样与缺口试样疲劳极限的比值,理论应力集中因素与有效应力集中因素的关系,式中：q-缺口敏感因素，由实验测得,11.2 影响疲劳寿命的因素,11.2.2 构件尺寸的影响-尺寸因素 构件尺寸越大，疲劳极限越小 原因：大体积构件，内部含缺陷多 大体积构件表面积大 裂纹扩展通常由构件表面开始 应力梯度影响，大构件高应力区域也大 尺寸因素： 式中：-1和(-1)d 为试样和光滑零件对称循环荷载疲劳极限 11.2.3 表面加工质量的影响-表面质量因素 式中： -1和(-1