南开经院考研 微观计算

1、帕累托最优1甲有300单位商品X，乙有200单位商品Y，二人的效用函数都是U（x,y）=xy，推导出所有满足Pareto最优的状态。二人通过交换达到Pareto最优，求出社会的价格体系，并求出交换结果。（清华大学2005研）（1）设甲乙两人的消费束为：甲，乙，题设的约束条件为： 帕累托有效配置的条件是：甲、乙两人的无差异曲线相切，即 于是我们有：= 联立得： =因此，所有满足Pareto最优的状态的契约线为：。（2）令x价格为1，y的价格为，先求甲的效用最大化条件：解得 ；再求乙的效用最大化条件：解得：；由第（1）问中解得的Pareto最优条件： 可求得： 。此时 ，也就是说，社会最终的价格体

2、系为：X的价格为1，Y的价格为1.5；交换结果为：甲消费150单位的X，消费100单位的Y；乙也消费150单位的X，消费100单位的Y。2.假定小王（A ）和小李（B ）的效用函数分别为： （1）请针对两人分别写出x对y的边际替代率公式。(06人大)（2）如果交易通过价格体系来实施，请写出均衡时的（可行的）价格比率。（3）假定共有100单位的x和200单位的y。最初，小王有25单位的x和75单位的y，而小李75单位的x和125单位的y。请说明经过市场交易后，均衡时两人分别拥有的两种商品的数量。（4）画出这种情形的埃奇沃斯框图。标出初始禀赋配置和所有的帕累托最优配置。（1）小王（A）的x对y的边

3、际替代率公式为：小李（B）的x对y的边际替代率公式为：（2）如果交易通过价格体系来实施，均衡时的（可行的）价格比率必须满足条件： 所以均衡时的价格比为：。（3）小王初始禀赋配置：（25，75），小李初始禀赋配置：（75，125）。假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合：，。均衡时，（100，200）即：， 由（1）可得，均衡时，1，所以 同时，小王和小李必须满足各自的预算约束： 由（2）得，所以、两式可化简为： 综合、四式可得均衡时两人分别拥有的商品数量为：（50，50），（50，150）（4）这种情形如图所示。初始禀赋配置为w，所有的帕累托最优配置为契约线上的EF段。3.一封闭经

4、济用两种生产要素土地和劳动生产两种商品X和Y。所有土地都是同质的，劳动也一样。两种要素的供给曲线完全无弹性。所有要素为私有，市场均属完全竞争，并处于长期均衡中。生产函数为：其中，X和Y分别为两种商品的年产出单位数，KX和KY分别为商品X和Y生产过程中使用的土地平方公里数，LX和LY分别为两种商品生产中雇佣的劳动人数。所有人都具有相同的效用函数，并由下式给出：UX0.5Y0.5现有324平方公里的土地，2500名工人，商品X的价格为100。试计算下列均衡值：（1）商品Y的价格；（2）每平方里土地的年租金R；（3）每个工人的年工资W。要素市场均衡要求WVMPLPMPL，故有 故 故 于是， 同样地

5、，由VMPKPMPKR，有 故 故于是， 3KYPXXKXPYY由效用函数及MRSXY，有 故PXX=PYY 将式代入式、式，得 LY3LX，KX3KY由题设，LXLY2500，故同样，由KXKY324，知将这些值代入生产函数，得X480.252430.756250.25=（243）1/4（35）3/4（55）1/4 =2345=810Y=30.25810.2518750.7531/4（34）1/4（543）3/4 =3353=1125（1）由式及给定PX100，得。（2）R=0.75。（3）W。4.假设在一个纯交换经济中有两个消费者i=A,B和两种商品j=l，2。消费者的初始禀赋为。消费者A

6、的初始禀赋和效用函数分别为和；消费者B的初始禀赋和效用函数分别为和。商品1和2的价格分别用p1和p2来表示。(上财07)（1）求竞争均衡（提示：在计算竞争均衡时可把商品1的价格标准化为1。（2）假设=12，=12，使市场出清的价格水平和均衡消费量分别为多少?（1）消费者A的效用最大化问题为：解得消费者A的价格提供曲线为： 消费者B的效用最大化问题为：解得消费者A的价格提供曲线为： 因此，市场出清的条件为 令，则由、可得： 所以竞争均衡为：（2）当=12，=12时，市场出清的价格水平为：均衡消费量为：32真题链接：(2012)补充类似题：一厂商有两个工厂，各自的成本由下列两式给出。工厂1：；工厂

7、2：；厂商面临如下需求曲线：，式中Q为总产量，即。（1）计算利润最大化的、Q和P。（2）假设工厂1的劳动成本增加而工厂2没有提高，厂商该如何调整工厂1和工厂2的产量？如何调整总产量和价格？（武大2002研）（1）一个能在两个空间上分开的工厂生产产品，其利润是两个工厂总收益与总成本之差： 分别对和求偏导并令其等于零，得（1）（2）将（1）式减（2）式化简得，并代入（1）或（2）得，所以，代入P=7005Q得P=550。（2）假设工厂1劳动成本增加而工厂2没有提高，该厂商会减少工厂1的产量，增加工厂2的产量，并且会使总产量减少，价格提高。 1.（2010）假定一个产品市场的需求函数为P(Q)=a-

8、Q Qa0 Qa其中P为产品价格，Q为产品需求量。厂商成本函数为C(q)=cq，其中C为生产成本，q为产量，c为常数，且0ca。（1）考虑完全竞争市场，厂商是价格的接受者，计算市场的均衡价格和需求量；（2）考虑完全垄断市场，厂商是价格的制定者，计算市场的需求价格和需求量；（3）考虑双寡头垄断市场，存在厂商1和厂商2，两个厂商通过选择产量进行古诺竞争，计算市场的均衡价格和需求量。（1）完全竞争市场时，厂商是价格接受者，均衡价格满足。易知，故，求得均衡产量为。（2）完全垄断市场时，厂商是价格制定者，生产决策满足。当时，则，求得均衡产量为，均衡价格为。（3）双寡头垄断市场，厂商1和厂商2进行古诺竞争

9、，则它们的利润函数分别为：令，得到他们的反应函数，并联立求解，得到均衡产量为：，则市场产量为，均衡价格。2.(2011)一个行业有两家企业，这两家企业具有相同的成本函数C(q)=4q，其中q为企业的产量。这个行业的反需求函数是P=100-2Q，其中P为价格，Q为行业的总产量。（1）若两家企业进行古诺产量竞争，求均衡时两家企业的产量和利润；（2）若两家企业进行伯兰特价格竞争，求均衡时两家企业的产量和利润；（3）企业1是斯塔克伯格博弈中领先者，企业2是追随者，均衡时两家企业的产量和利润；（4）若两家企业组成卡特尔，并评分市场，则两家企业的产量和利润分别是多少？假定企业2不会背叛，当企业1背叛卡特尔

10、协议时的产量和利润各是多少？（1） 求得 （2）P=100-2Q=4 （3） 求得 求得 (4) 合谋时 求得 Q=24 企业1背叛时已知 求得 补充类似题：设某产业的市场需求成为p13x（设p为价格，x为产量），只有一个垄断者，生产成本函数为Cx6.25，又设新进入者的成本函数与此相同。（1）该垄断者的垄断利润是多少？（2）现有某外企想进入，原垄断者为抑制潜在的进入者进入，想让进入者的利润为零。原垄断者应把自己的产量定为多少才能使新进入者的利润为零？（3）原垄断者在第2问中选择的产量决策能吓退进入者吗？为什么？（4）从长远看，新进入者与原垄断者的产量，价格与利润会是多少？（北大2000）（1

11、）垄断者的边际收益为：MR（x）=132x；边际成本为：MC（x）=1 故垄断者生产 x= 6 利润为：=29.75（2）这是一个Stackelberg模型，假设原垄断者生产x1，进入者生产x2。对进入者来说： 要使进入者利润为零，有： （3）如果垄断者在潜在的进入者进入之前将产量固定在7，并且产量变动的成本非常高的话，那么垄断者的威胁就是可置信的，但如果垄断者只是口头宣布将产量定在7，则该威胁是不可置信的，因为一旦进入者以古诺竞争的方式进入，垄断者生产7将是非理性的。（4）从长期看，新进入者和垄断者之间将是古诺竞争的关系，长期的产量是4，价格为5，利润为9.75。3.(2009)在一个垄断市

12、场中，厂商的需求曲线为：P=20-6Q,其成本函数为：TC=3Q2+2Q， 请回答以下的问题：（共20分）(1)厂商的最优生产决策及相应的利润是怎样的？（4分）(2)假如政府可以通过三种途径压缩厂商的利润，分别是：A.通过最高限价政策迫使厂商生产完全竞争市场的产量；B.征收固定额度的垄断暴利税（等于超额利润）；C.按照现价格与完全竞争市场价格的差价向每个产品征收从量税。则三种情况下厂商的定价、产量和利润状况分别是怎样的？（12分）(3)基于消费者的福利角度考虑，如何判断这三种政策的效果。（4分）补充类似题：假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P=103Q，成本函数为TC=Q22Q。（1）求利润最大

13、时的产量、价格和利润。（2）如果政府企图对该厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争行业所能达到的产量水平，则限价应为多少？这时企业利润如何？（3）如果政府打算对该厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿走，问这笔固定税的总额是多少？（4）如果政府对该厂商生产的每单位产品征收产品税1单位，新的均衡点如何？（产量、价格和利润）（对外经贸大学2003研）（1）MR=106Q MC=2Q2 MR=MC 得：Q=1 P=103Q=7 利润R=PQTC=8Q4Q2=4（2）由P=MC得，10-3Q=2Q+2，Q=1.6，P=5.2 =PQ-TC=2.56政府应限价为P=5.2，此时Q=1.6

14、，厂商获得利润为2.56，之所以利润不为零，是因为短期内只有一家厂商，随着长期内厂商数目调整，会使利润趋于0。（从P=AC解得P=4，这种解法错误在于P=4时，如果厂商选择少生产一点，即Q1AC，此时厂商利润R将大于零。政府利用P=AC确定价格为P=4时，无法使厂商生产Q=4的产量。故此解法错误。）（3）征税拿走所有的超额利润R=4（4）每单位收税1，则相当 得：Q=7/8 P=103Q=7.375 R=PQTCQ=7Q4Q2=49/164(2002)某垄断厂商面临的需求曲线为P1000.01Q，其成本函数为C50Q30000，（其中P为价格，以美分计，Q为产量，C为成本）。请问:a该厂商的最

15、优产量，价格和总利润水平各为多少？（5分）b如果政府决定对该商品征收每单位10美分的特种税，收税后的产量，价格和利润水平各为多少？（5分）设对一垄断厂商的两种产品的需求函数如下：Q1=402p1p2 Q2=15p1p2 该厂商的总成本函数为 C=（Q1）2Q1Q2（Q2）2 请求出该厂商取得最大利润时的Q1、Q2、p1、p2和利润R，其中符号的定义为Q：产品产量，p：价格；C：成本，R：利润。（上海财大2003研）解：厂商的利润： R=TR1TR2TC =Q1p1Q2p2（Q1）2Q1Q2（Q2）2由 Q1=402p1p2Q2=15p1p2 得： p1=55Q1Q2 （1） p2=70Q12Q

16、2 （2） 代入R整理得 R=55Q12（Q1）23（Q2）23Q1Q270Q2 （3） 要使利润最大化，必有 即 解得：Q1=8 Q2=7.67 代入（1），（2）得：p1= 39.33 p2=46.66 代入（3）得：R=488.4寡头垄断市场上有一种决策方式是准竞争，其含义是市场上所有的寡头垄断厂商都模仿完全竞争厂商的行为模式，使生产的边际成本（MC）等于市场价格（p）。假定某市场上有n个相同的卖方垄断生产厂商，它们所面对的反需求函数为，其成本函数为。请求解1）古诺均衡解；2）确定准竞争解；3）当时，古诺解是否收敛于准竞争解？（人大2004研）（1）第个厂商的总收益为第个厂商的成本函数为

17、 所以第个厂商的利润函数为 当第个厂商获得最大利润时，有因此每个厂商的产量都为每个厂商的产量相等，得 将n个厂商的产量加总，有总产量：产品价格为：所以古诺模型的均衡解为，（2）第个厂商的边际成本为 根据准竞争规则，有，即 所以总产量为所以准竞争均衡解为，（3）当时，古诺均衡解的产量有古诺均衡解的价格可见，当时，古诺解是收敛于准竞争解。某公司面对以下两段需求曲线：（当产量为020时）（当产量超过20时）公司总成本函数为：（1）说明该公司所属行业的市场结构是什么类型？（2）公司的最优价格和产量是什么？这时利润（亏损）多大？（3）如果成本函数改为，最优价格和产量是多少？（上交99）（1）该行业属斯威

18、奇模型，即折拐需求曲线模型，所以该公司所属行业的市场结构是寡头市场。（2）当Q=20时，（从一样求出）。然而，当时，对于来说，对于来说，这就是说，MR在155之间断续，边际成本在155之间都可以达到均衡。现在假设，由此得当时，250.5Q=50.5Q，得当时，351.5Q=50.5Q，得显然，只有才符合均衡条件，而，小于20，不符合题目假设条件，因为应用了P=350.75Q，而题目假设只有Q20时，才适用。当时，已求出价格P=20，所以利润（3）当时当时，250.5Q=80.5Q得当时，351.5Q=80.5Q得显然，由于，不符合假设条件，因此是均衡产量。这时，。利润。利润为负，说明亏损，但这是最小亏损额。一个少数垄断厂商面临的是一条折弯的需求曲线，它认识到从产出050单位的需求函数为，当产出数量超过50单位时，其需求函数为，该企业的成本函数为，试求该企业的利润极大化的价格、产出及利润为多少？这个少数垄断厂商面临的是一条折弯的需求曲线，两条需求曲线的MR分别为和，两条需求曲线的交点处就是它的价格。 解出Q值，Q=50。在Q=50时，P=25，两条需求曲线相对应的MR值分别为10和0，由