高中数学 学业分层测评15（含解析）北师大版选修2-1

1、学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)【解析】由准线过已知点可求出p的值，进而可求出抛物线的焦点坐标抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)【答案】B2设抛物线C：y24x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是()A4B5 C6D7【解析】抛物线C的准线方程为x1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d415，所以|PF

2、|5.【答案】B3抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p()A2B4 C6D8【解析】OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径外接圆的圆面积为9，圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，3，p4.【答案】B4若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x【解析】设动圆的半径为r，圆心O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距

3、离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知y28x.【答案】A5已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|P1F|P2F|FP3|B|P1F|2|P2F|2|P3F|2C2|P2F|P1F|P3F|D|P2F|2|P1F|P3F|【解析】因为P1，P2，P3在抛物线上，且2x2x1x3，两边同时加上p，得2x1x3，即2|P2F|P1F|P3F|，故选C.【答案】C二、填空题6若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_【解析】椭圆1的右焦点为(2,0)，抛物线y22px的焦点为.

4、2，p4.【答案】47已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则抛物线的准线方程为_【导学号：32550075】【解析】圆方程为(x3)2y216.抛物线y22px的准线为x，34，p2，抛物线的准线方程为x1.【答案】x1.8已知P是抛物线y24x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为点M，N是圆(x2)2(y5)21上的动点，则|PM|PN|的最小值是_【解析】抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆(x2)2(y5)21的圆心为Q(2,5)，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点N的距离与点P到抛物线的焦点

5、距离之和最小为11.【答案】1三、解答题9已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离【解】如图所示，抛物线y22x的准线为l：x，过A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为A、B、M.由抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB的中点，由梯形中位线定理得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3，则M到y轴的距离d1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为1.图32110如图321，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A

6、到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【解】(1)抛物线y22px的准线为x，于是，45，p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF.因为MNFA，所以kMN.则FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2.解方程组得所以N.能力提升1设O为坐标原点，F 为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)【解析】设A(x0，y0)，由题意可知F(1,0

7、)，(x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040，即x3x040，x01或x04(舍去)y02.【答案】B2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是()A抛物线B圆C直线D以上都不对【解析】作PFAD于F，则PF平面ADD1A1，作FEA1D1于E，则PEA1D1.由勾股定理得PF2PE2EF2(PM21)1PM2，PFPM.由抛物线定义知，点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线【答案】A3过抛物线y4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y25，则线段AB的长为_【导学号：32550076】【解析】抛物线方程可化为x2y，p，焦点F的坐标为，|AF|y1，|BF|y2，|AB|AF|BF|y1y25.【答案】4河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m时，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【解】如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设桥拱的抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)