高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.1.2习题精选 北师大版必修5

1、第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在等比数列an中,a5=3,则a2a8=() A.3B.6C.8D.9解析:a2a8=32=9.答案:D2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于()A.-B.C.D.解析:=14=4,b2=2或b2=-2(舍去).又a2-a1=1,=-.答案:A3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()A.4B.2C.-2D.-4解析:由解得a=-4或a=2.又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4.答案:D4.在等比数列an中,a1=1,公比|q|1

2、.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.12解析:因为an是等比数列,所以a1a5=a2a4=,于是a1a2a3a4a5=.从而am=(q2)5=q10=1q11-1,故m=11.答案:C5.在正项等比数列an中,=81,则等于()A.B.3C.6D.9解析:=81,=81,=81.数列各项都是正数,=9.答案:D6.在等差数列an中,公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则=.解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,.答案:7.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n

3、个正数的积为.解析:设插入的n个正数为a1,a2,an.设M=1a1a2an100,则M=100anan-1a11,M2=(1100)n+2=100n+2,M=10=10n+2,a1a2an=10n.答案:10n8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为.ab612c解析:设公比为q,由题意知q=,q2=.第四行最后一个数为.因为每一行成等差数列,所以22=1+,即bc=6.因为,所以所以所以q=.又=q3=,所以a=8,a+b+c=.答案:9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等

4、比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.解由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(d0),a-d+a+a+d=6,a=2,这三个数分别为2-d,2,2+d.若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).解得d=6或d=0(舍去),此时三个数分别为-4,2,8;若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4.10.已知等比数列bn与数列an满足bn=(nN+).(1)判断an是何种数列;(2)若a8+a13=m,求b1b2b20.解(1)设数列bn的公比为q,则q0.bn=,b1=,bn=qn-1,q

5、n-1=.将两边取以3为底的对数得an=log3(qn-1)=a1+(n-1)log3q=log3b1+(n-1)log3q.数列an是以log3b1为首项,log3q为公差的等差数列.(2)a1+a20=a8+a13=m,a1+a2+a20=10m,b1b2b20=310m.B组1.已知0aba2,则an等于()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)n-1D.-(-2)n解析:|a1|=1,a1=1或a1=-1.a5=-8a2=a2q3,q3=-8,q=-2.又a5a2,即a2q3a2,a20.而a2=a1q=a1(-2)0,n=1,2,且a5a2n-5=22n(n3),则当n1

6、时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:由等比数列的性质可得=a5a2n-5=22n=(2n)2,an0,an=2n,故数列首项a1=2,公比q=2,故log2a1+log2a3+log2a2n-1=log2(a1a3a2n-1)=log2(a1)nq0+2+4+2n-2=log22n=log2=log2=n2,故选C.答案:C5.导学号33194021在数列an中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12=()A.32C.34C.66D.64解析:依题意,a1,a3

7、,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a125=64,a12=a11+2=66.故选C.答案:C6.在等比数列an中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为.解析:a1a2a3a17=(a1a17)(a2a16)a9=a9=(-2)17=-217.答案:-2177.已知数列an是公差不为零的等差数列,且a5,a8,a13是等比数列bn中相邻的三项,若b2=5,求数列bn的通项公式.解an是等差数列,a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d.a5,a8,a13是等比数列bn中相邻的三项,=a5a13,即(a1+7d)2=(a1+4d)(a1+12d),解得d=2a1.q=,b2=b1q=5,b1=5,b1=3,bn=3.8.导学号33194022已知两个等比数列an,bn满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列an的通项公式;(2)若数列an唯一,求a的值.解(1)设an的公比为q,则b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,故an的通项公式为an=(2+)n-1或an