高中数学 第一章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修4-4

1、3 柱坐标系和球坐标系对应学生用书P151柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为0r，02，z.(2)空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，z)之间的变换公式为2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的距离，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P

2、为点M在xOy平面上的投影(如图)这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点M的球坐标，这里r，的变化范围为0r，0，02.(2)空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为.1空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角2在极坐标系中，方程0(0为不为0常数)，0(0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程1，z1分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r1，分

3、别表示空间中的什么曲面？提示：在柱坐标系中，方程1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；方程z1表示与xOy坐标面平行的平面，此平面与xOy面的距离为1且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程r1表示球心在原点的单位球面；方程表示顶点在原点，半顶角为的上半个圆锥面，中心轴为z轴对应学生用书P16将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标思路点拨本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点C1的直角坐

4、标，再分别化为柱坐标、球坐标即可精解详析设点C1的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0.法一：结合图形及三种坐标系的概念知C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为(其中tan ，0)法二：由公式及得及(x0)又所以及结合图形得，由cos 得tan 所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为(其中tan ，0)1在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距离和角大小2转化点M的直角坐标(x，y，z)(1)为柱坐标(r，z)时，需要对公式进行变换得且求时要特别注意角所在象限，从而确定的取值(2)为球坐标(r，)时，需要对公式进行变换得

5、(x0)若本例中条件不变，求点C，D的柱坐标与球坐标解：结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为，球坐标为.同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为，球坐标为.由点的柱坐标求直角坐标例2根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)；(2).思路点拨本题考查关系式的直接应用，设点的直角坐标为(x，y，z)，利用上述关系式求出x，y，z即可精解详析(1)(r，z)，(，1,3)为所求(2)(r，z)，(1,1,5)为所求将点的柱坐标(r，z)化为直角坐标，只需运用公式转化成三角函数的求值与运算即可1设点M的柱坐标为，求它的直角坐标解：所以点M的直角坐标为(，1,7).由点的球坐标求直角

6、坐标例3设点P的球坐标为(r，).求它的直角坐标思路点拨本题考查关系式的直接应用，解答此题需要将r，代入求得x，y，z即可精解详析(r，)，点P的直角坐标为(1,1，)利用把点的球坐标化为直角坐标时，应注意坐标r，的几何意义及坐标(r，)的先后顺序，不要出现前后颠倒的现象2已知M的球坐标为，求它的直角坐标解：由变换公式得：xrsin cos 2sincos.yrsin sin 2sinsin.zrcos 2cos.它的直角坐标为.对应学生用书P17一、选择题1设点M的直角坐标为(1，2)，则它的柱坐标是()A.B.C. D.解析：选B设点M的柱坐标为(r，z)，则tan .02，x0，r2，z

7、2.点M的柱坐标为.2.如图所示，点M的球坐标为()A.B.C.D.解析：选A由球坐标的定义知，|OM|2r，MOz，xON，又M(r，)，M.3已知点N的球坐标为，则其直角坐标为()A(2,2,2) B(2，2,2)C(2，2,2) D(2,2，2)解析：选A设点N的直角坐标为(x，y，z)，则有点N的直角坐标为(2,2,2)4.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为()A100 B120C160 D240解析：选B由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|4，|OC|6，|OO1|5，故长方体的体积为456120.二、填空

8、题5已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案：(2,2,2)6设点M的直角坐标为(1，4)，则点M的柱坐标为_解析：2.tan ，又x0，y0，柱坐标为.答案：7在球坐标系中，M与N两点间的距离是_解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则M点的直角坐标为(，2)，同理，N点的直角坐标为(，2)|MN|4.答案：48在柱坐标系中，已知A，B及O(0,0,0)三点，则ABO的面积为_解析：A，B，O(0,0,0)，OAB为直角三角形SOAB|OA|AB|121.答案：1三、解答题9如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标(其中O是BCD的中心)解：O是BCD的中心，OCODOB，AO.C，D，B，A.10在直三棱柱ABCA1B1C1中CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中点求点M的空间直角坐标、柱坐标解：建立如图所示坐标系，过点M作底面xCy的垂线，垂足为N，则N为AB中点N.M点的空间直角坐标为M.