高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课后提升训练 新人教A版必修1

1、奇偶性(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017温州高一检测)函数f(x)=()A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选B.因函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.2.(2017商丘高一检测)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=|x-3|B.f(x)=x2+xC.f(x)=x2-xD.f(x)=【解析】选D.A,B,C选项中的定义域均为实数集R,但f(-x)f(x)且f(-x)-f(x),所以都为非奇非偶函数,只有选项D中f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称.【

2、补偿训练】下面四个结论中正确的个数为()偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定通过原点;偶函数的图象关于y轴对称;既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=,故错,对;奇函数的图象不一定通过原点,如y=,故错;既奇又偶的函数除了满足f(x)=0,还要满足定义域关于原点对称,错,故选A.3.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有()A.f(x)-f(-x)0B.f(x)-f(-x)0C.f(x)f(-x)0D.f(x)f(-x)0【解析】选C.奇函数满足f(-x)=-f(x),所以f(-x)f(x)

3、0.4.(2017吉林高一检测)已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=()A.-15B.15C.10D.-10【解析】选A.设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.【一题多解】选A.f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a35+3b-5) -10=-f(3)-10=5,所以f(3)=-15.5.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()【解析】选A.由图象知y=f(x)为偶

4、函数,y=g(x)为奇函数,所以y=f(x)g(x)为奇函数且x0,由图象知x时f(x)0,g(x)0,x时f(x)0,g(x)0,所以x时y=f(x)g(x)0.6.(2017温州高一检测)如图是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的是()A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.奇函数且偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选C.因为f(x)=0,x-2,2,满足f(-x)=f(x).所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数.7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】

5、选C.把x=-1代入已知得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)=1.8.(2017冀州高一检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0),又f(x)是定义域上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-7,则f(-2)=_.【解析】因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(222-7)=

6、-1.答案:-110.(2017西安高一检测)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=_,g(x)=_.【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得,f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得:f(x)=x2-2,g(x)=x.答案:x2-2x三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+.(2)f(x)=x2+|x+a|+1.(3)f(x)=【解析】(1)f(x)的定义域为,不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数

7、.(2)当a=0时,f(x)为偶函数.当a0时,因为对所有xR,|x+a|-x+a|.所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+),关于原点对称.当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x)当x0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由知,对任意x(-,0)(0,+),都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.【拓展延伸】判断分段函数奇偶性的步骤(1)分析定义域是否关于原点对称.(2)对x进行分段讨论,寻求f(

8、-x)与f(x)在各段上的关系.(3)综合(2)在定义域内f(-x)与f(x)的关系,从而判断f(x)的奇偶性.12.(2017北京高一检测)已知函数f(x)=x2-2x,设g(x)=f(x+1).(1)求函数g(x)的表达式,并求函数g(x)的定义域.(2)判断函数g(x)的奇偶性,并证明.【解析】(1)由f(x)=x2-2x,得f(x+1)=x2-1,所以g(x)=f(x+1)=,定义域为x|xR,且x0.(2)结论:函数g(x)为奇函数.证明:由(1)知,g(x)的定义域为x|x0,关于原点对称,并且g(-x)=-g(x),所以,函数g(x)为奇函数.【能力挑战题】(2017成都高一检测)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).【解析】(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所