高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2

1、1.2.3第1课时直线与平面垂直学习目标1.了解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.知识链接生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？预习导引1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做

2、垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是_.若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，

3、则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直.答案解析当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确.根据线面垂直的定义，若l则l与的所有直线都垂直，所以正确.规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.跟踪演

4、练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A.若lm，m，l B.若l，lm，则mC.若l，m，则lm D.若l，m，则lm答案B解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点.求证：AD平面A1DC1.证明AA1底面

5、ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，显然A1C1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1而A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B，AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结

6、论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EFBD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC

7、.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪演练3如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线

8、a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不确定答案B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.2.如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直答案C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则B

9、DMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.下列表述正确的个数为()若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于平面内的两条直线，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知错.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边.A. B. C. D.答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有_个.a，bab; a，abb；a，abb； a，bab.答案2解析由线面垂直的性质定理知正确.1.直线与平面