高中数学 第一章 解三角形 习题课 正弦定理和余弦定理学案 新人教B版必修5

1、习题课正弦定理和余弦定理学习目标1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题知识链接下列结论正确的是 (1)在ABC中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则ABC的面积为12.(2)在ABCD中，一边的长为a，这边上的高为h，则ABCD的面积为ah.(3) 已知ABC的三边长分别为a，b，c，若2pabc，则SABC.(4)设ABC的内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积Sr(abc)答案(1)(3)(4)预习导引1三角形常用面积公式(1)三角形面积公式Sah.(

2、2)三角形面积公式的推广Sabsin Cbcsin Acasin B.2三角形内的角的函数关系在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，(2)sincos ，cossin .3余弦定理的推论在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角.要点一利用正、余弦定理求值例1在ABC中，若ccos Bbcos C，且cos A，求sin B的值解由ccos Bbcos C，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，易知BC，故bc.因为cos

3、 A，所以cos A，得3a22b2，所以ab.所以cos B，故sin B.规律方法正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择跟踪演练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值解(1)由已知b2accos A.A(0，)，A. (2)由b2ac，得，sin Bsin Bsin A.要点二正、余弦定理与三角变换的综合应用例2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A. (1)求A的度数 (2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2 cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2 A1，4

4、(1cos A)4cos2 A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，所以32()23bc则由解得或规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组跟踪演练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b2ac.求2sin2sin 2B的值解由已知，所以cos B，又B(0，)，则sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.要点三正、余

5、弦定理与平面向量的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解(1)21，21.|cos Baccos B21.ac35，cos B，又B(0，)，sin B.SABCacsin B3514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理，sin Csin B.cb且B为锐角，C一定是锐角C.规律方法这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系跟踪演练3ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C

6、)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为 答案150解析 mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cos B，又0B180，B150.要点四三角形的面积公式的拓展例4如图，在ABC中，BC5，AC4，cosCAD，且ADBD，求ABC的面积解设CDx，则ADBD5x，在CAD中，由余弦定理可知cosCAD.解得x1.在CAD中，由正弦定理可知，sin C4，SABCACBCsin C45.ABC的面积为.规律方法在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我

7、们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积跟踪演练4在ABC中，AB，AC1，B30，求ABC的面积解由正弦定理得，sin C.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin 30.1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则A等于()A.B.C.D.答案D解析由正弦定理，得2sin Asin Bsin B，即sin A，因为ABC为锐角三角形，所以A.2某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能()A不能作出这样的三角形 B

8、作出一个锐角三角形C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形答案D解析假设能作出ABC，不妨设高，对应的边分别为a26S，b22S，c10S，cos A0，A为钝角3已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C. D4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由R2，R1，由Sabsin C，abc1.4在ABC中，AB3，AC2，BC，则 .答案解析根据余弦定理，cos A.32.1判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)2对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识