高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（2）学案 新人教A版必修5

1、1.2 应用举例（2）学习目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案解题思路是：在ACD中，所以AC，在RtAEC中，AEACsin ，ABAEh.梳理问题的本质如图，已知AEC为直角，CDm，用、m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方位角求高度思考如图，一辆汽车在一条

2、水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，怎样求此山的高度CD?答案先在ABC中，用正弦定理求BC，再在RtDBC中求DCBCtan 8.梳理问题本质是：如图，已知三棱锥 DABC，DC平面ABC，ABm，用、m、表示DC的长类型一测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1仰角例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 m B5 mC5(1) m D5(1) m答案D解析方法一设ABx m，则BCx m.

3、BD(10x)m.tanADB.解得x5(1)m.所以A点离地面的高AB等于5(1)m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsin ADCsin 30 .ABACsin 455(1)m.反思与感悟(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为_ m(精确到1 m)答案811解析如图，过点D

4、作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，得AB1 000(m)在RtABC中，BCABsin 35811(m)所以山的高度约为811 m.命题角度2俯角例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角5440，在塔底C处测得A处的俯角501.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，BAD.根据正弦定理，所以AB.解RtABD，得BDABsinBAD.将测量数据代入上式，得BD176.5(m)CDBDBC176.5

5、27.3149(m)答山的高度约为149 m.反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题跟踪训练2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m.答案30解析设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在ABC中，由题意可知AC30(m)，BC30(m)，C30，AB2(30)230223030cos 30900，所以AB30(m)类型二测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面

6、上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为

7、60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A10 m B10 mC10 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)1一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30和45，则这个海岛的宽度为_ m(精确到0.1 m)答案5 856.4解析宽5 856.4(m)2甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_答案20米、

8、米解析甲楼的高为20tan 602020(米)，乙楼的高为2020tan 302020(米)3为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度解在ABT中，ATB21.418.62.8，ABT9018.6，AB15(m)根据正弦定理，AT.塔的高度为ATsin 21.4sin 21.4106.19(m)1在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余

9、弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题40分钟课时作业一、选择题1为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30，塔基的俯角为45，那么塔AB的高为()A20 m B201 mC20(1) m D30 m答案A解析塔的高度为20tan 3020tan 4520(m)，故选A.2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 m B300 m C400 m D100 m答案B解析方法一如图，BED，BDC为等腰三角形，B

10、DED600 m，BCDC200 m.在BCD中，由余弦定理可得cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.方法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2.cos 2，0290，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.3已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10答案B解析如图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故选B.4

11、从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A2h米 B.h米 C.h米 D2h米答案A解析如图所示，BCh，ACh，AB2h(米)5某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 m B5 mC10 m D12 m答案C解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理，得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 12

12、0，h25h500，解得h10或h5(舍)即塔高为10 m.6要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m答案D解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m)(负值舍去)故选D.二、填空题

13、7.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_.答案解析在ABC中，由余弦定理，得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.8. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_米答案15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理，得，所以 BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015(米)9如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处

14、测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.若ABBD，则B、D间的距离为_km.答案解析在ABC中，BCA60，ABC756015，AC0.1 km，由正弦定理，得，所以AB(km)，又因为BDAB，所以BD(km)三、解答题10如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高h.证明在ABP中，ABP180，BPA180()ABP180()(180).在ABP中，根据正弦定理，即，AP，所以山高hAPsin .11某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北，若沿途测

15、得塔的最大仰角为30，求塔高解如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60行走40 m到达C处，即BC40，CAB135，ABC30，ACB15.在ABC中，即，AC20.过点A作AGBC，垂足为G，此时仰角AGE最大，在ABC中，由面积公式知BCAGBCACsinACB.AG20sin 15，AG20sin(4530)20()10(1)在RtAEG中，AEAGtanAGE，AE10(1)10，所以塔高为(10)m.12为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西千米有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并