抛物线的几何性质

1、,抛物线的几何性质,1、抛物线定义,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,2、 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 = -2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 = -2py (p0),焦点,准线,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究？,1、范围,即点(x,-y) 也在抛物线上,故抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点

2、(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,2、对称性,定义：抛物线与坐标轴的交点称为抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0) 的顶点是（0，0）.,3、顶点,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,4 、离心率,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,5、通径,连接抛物线任意

3、一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,F,6、焦半径,1、当焦点在x轴上时，,2、当焦点在y轴上时，,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,2p,2p,2p,2p,1,1,1,1,归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为, 、抛物线

4、的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,例题讲解：,作图：,(1)列表（在第一象限内列表）,(2)描点：,(3)连线：,对应训练：,求适合下列条件的抛物线的方程：,（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）; （2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，

5、这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,光学性质：,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),1、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。,2、抛物线 的弦AB垂直

6、x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。,4,2,巩固提高：,3、求满足下列条件的抛物线的标准方程： 焦点在直线x-2y-4=0上.,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2P越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,6、光学性质：,从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.,你学会了吗？,过焦点弦长问题,例2：过抛物线y2=4x的 焦点作倾斜角为45度的 直线交抛物线与

7、A，B 两点，求AB,分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离公式可得AB 解（法一）由条件可得F（1，0） 则直线的方程为：y=x-1 由 可得 解得 由两点距离公式可得AB=8 （法二）利用方程，利用弦长公式同样可得AB=8,.,分析：利用抛物线性质解决问题 解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2) AB=AF+BF =x1+1+x2+1 =x1+x2+1+1 由上知x1，x2是方程 的两根，故x1+x2=6，所以 AB=6+2=8,一般地:若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 AB有最小值吗？ 若有又为多少？,想

8、一想？,运用2、过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为？,运用1、过抛物线y2=4x的焦点作直线交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,求|AB|的值,练习、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴， 焦点在直线3x-4y-12=0上，求抛物线通径长.,1、相离；2、相切； 3、相交（一个交点，两个交点）,考点三、直线与抛物线位置关系,1、直线与抛物线的对称轴平行,例：计算直线y = 6与抛物线y2 =4x的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,2、直线与抛物线的对称轴不平行,计算直线 y = x -1与抛 物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。,例3、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P（-2，1）,斜率为k,当k为何值时，直线l与抛物线： （1）两个公共点； （2）没有公共点。 （3）只有一个公共点；,考点四、与弦长、中点有关的问题