[第1讲]等差数列与等比数列

1、第1讲等差数列与等比数列满分晋级数列 9 级重要知识点数列 7 级数列的新定义形式知识网络数列 8 级等差数列与等比数列利用数列递推求通项知识结构图1若等差数列的首项为 a1 ，公差为 d ，则通项公式为 an =_，前 n 项和公式为 S n =_ _；若已知首项为 a1 尾项为 a n 公差为 d ，则项数 n =_，前 n 项和公式 S n =_；若等比数列的首项为 a1 ，公比为 q( q 1) ，则其通项公式为 an =_，前 n 项和公式为 S n =_2若已知等差数列的第 n 项为 an ，第 m(n) 项为 am ，则公差 d =_；若已知正项等比数列的第 n 项为 an ，第

2、 m(n) 项为 am ，则公比 q =_3公差非 0 的等差数列， 其中四项满足 a p +aq =am + n 的充要条件是项数p, q, m, n 满足关系式_，特殊地， 2a p =am +an 当且仅当_；类似地，在等比数列中，若项数 p, q, m, n 满足关系式_，则 a p q =am n ，2, a , a , a_ 数 列 ， 且 公 _ 为 _ ； 在 等 比 数 列 中 ， 等 距 离 取 出 若 干 项, a , a , a为_-S数列，且公 _为 _；等比数列的连续 n 项和，即 S n ， S2 n -Sn ，S3n -S2n , L ，构成的数列是_数列，且公

3、_为_一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版1=a a特殊地，若_则 ap m n 4在等差数列中，等距离取出若干项 an n +m n+2 m n +3m , L ，所构成的数列是an n +m n+2 m n+3m , L ，所构成的数列依然是_数列，且公 _5等差数列的连续 n 项和，即 S n , S2 n n , S3 n -S2 n , L ，构成的数列是_aa a考点剖析考点 1：等差数列的基本量；考点 2：等比数列的基本量；考点 3：等差数列的性质；考点 4：等比数列的性质；考点 5：等差（比）数列中的求和问题；考点 6：等差（比）数列的判定经典精讲由于最近几年北京高考

4、的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现而在小题中的考察就以考察基本量和基本性质为主等差数列的基本量： a1， d， n， an， Sn；知道其中任意三个就可以确定另外两个；等比数列的基本量： a1， q， n， an， Sn；同样也是知道其中三个就可以确定另外两个【例1】 （等差数列的基本量） （2010 辽宁文 14）设 Sn 为等差数列n 的前 n 项和，若 S3 =3，S6 =24 ，则 a9 = （2010 海淀一模理 6）已知等差数列 1 , a , b ，等比数列 3 , a +2 , b +

5、5 ， 则该等差数列的公差为（）A 3或 - B 3 或 - C 3 D - 已知数列 an 是非零等差数列 ，又 a1 ， a3 ， a9 组成一个等比数列的前三项 ，则a1 +a3 +a9a2 +a4 +a10的值是（）13 1316 16 （2009 浙江文 20）设 Sn 为数列an 的前 n 项和， Sn =kn 2 +n ，n N* ，其中 k 是常数 求 a1及 an ； 若对于任意的 mN* ， am ， a 2m ， a4 m 成等比数列，求 k 的值【解析】 15 6 1 2 C 3 a =-1，解得 1， a9 =a1 +8d =152a =1+b 2，解得 a +2 0

6、 + 因此该等差数列的公差为 3 C2一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版a3 1 3A1BC 1或D不能确定S3 1 + 2 d =3=3aS =6a +6 5 d =24d =22(a +2)=3 b +5)(a =4b =7b 5 0设等差数列的公差是 d，则由题意知 a1， a1 +2d， a1 +8d构成等比数列； (a1 +2d )2 =a1 (a1 + d )， d 2 =a1d， d =a1或者 d =0；若 d =a1，则 an =na1，a1 +a3 +a9a2 +a4 +a101 +3 +9 132 +4 +10 16；若 d =0，则 an a1， =；故选

7、Ca2 + 4 +a10本题切记不要漏解 d =0即 an 为常数列的情形 由 Sn =kn2 +n，得a1 =S1 =k +，an =Sn -Sn- =2kn - + (n 2)a1 =k +1也满足上式，所以 an =2kn -k +1， n N*由 a m， a2m， a 4m成等比数列，得(4mk -k +1)2 =(2km -k +1)(8km -k +1)，将上式化简，得 2km(k -1) =0，因为 m N*，所以 m 0，则 k =0或 k =1【拓 2】首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是 a1 =-24，依题意知 a10 0且 a

8、9 0； 83本题要注意千万不要丢掉 a9 0的判别条件【拓 3】（2010 浙江文 19）设 a1 ， d 为实数，首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列n 的前 n 项和为 Sn ，满足 S 5S 6 +15 = 若 S 5 =5 ，求 S6 及 a1 ； 求 d 的取值范围-15S5=-3；a6 =S6 -S5 =-8；5a +10 d =5所以 1解得 a1 =7， d =-3；所以 S 6 =-3， a1 =7因为 S5 S6 +15 =0一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版38=a1 +a3 +a91a11 k 1【解析】 ，3-24 +9d 0-24 +8d 0解得 ，

9、令 bn =an +1(n = ，2，L) ，若数列n 有连续四项在集合 53，-23，19 ，37 ，82中，则 6q = 【解析】 -9等比数列的通项 an 有连续四项在集合 -54，-24，18，36，81中，集合中有五项，所以只需要去掉一项；由于集合是两负三正，如果去掉一个负项就剩下一负三正，不可能构成 an 的连续四项；所以只能去掉一个正项，剩下两负两正，构成公比 q 0的等比数列；再把五项按照绝对值大小排列：18 ，24，36，54 ，81，此时 an 的四项依然成为等比数列，经检验知只要排除 18就构成等比数列，所以要去掉的项是 1832小题中对于等差数列性质的考查，常着手于以下

10、方面： an 是等差数列 an是 n不超过一次的多项式（因为 an =dn +( a1 -d)）；d d2 2）；Sn n d2（因为Snnd d 2 S n的最值；若 d 0，则 S n有最小值：若 a1 0，则最小值就是 S1；若 a1 0，则最小值就是前面全体非正项的和；反之，若 d 0，则最大值就一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版51 -q1 -q1 +q3 =9 q =2，所以 是首项为 1，公比为的an 1 1 -由 a2 4 =1可得 a12q 4 =1，因此 a1 = 2，又因为 S 3 1(1 +q +q 2 ) =7，=a4- 5 11 2 =31，故选 B联立

11、两式有 +3 -2=0， q =， a1 =4， S5 =qq1-2所以 an 的连续四项为 -24，36， -54，81成等比数列，公比为 q =-， 6q =-91 1a 1 1b - S n是 n不超过二次的多项式且常数项必定为 0（因为 S n = n 2 +a1 -n 是等差数列，且公差为= n +a1 - ）；2 是前面全体非负项的和；实际考试中，对 a1d 0的情形的考查，是比较常见的等差中项；在等差数列中： an +an+2 =2an +1；更一般地，只要 n +m =p +q就有 an +am =ap +aq；对于奇数项和有： S 2n -1 =(2n -1)(a1 +a2n

12、- )2=(2n -1)an；(a +a )2, a , a , a然是等差数列，且公差为 md；连续 n项和；-S公差为 nd对于等比数列性质的考查，常着手于以下方面：等比中项；在等比数列中， an n + =an+；更一般地，只要 n +m =p +q就有 an m =ap q；, a , a , a然是等比数列，且公比为 qm；连续 n项和；等比数列的连续 n项和，即 S n , S2 n -S n , S3 n -S2 n , L，构成的数列依然是等比数列，且公比为 qn【例3】 （等差数列的性质） （2010 福建理 3）设等差数列 n的前 n 项和为 Sn ，若 a1 =- ，a4

13、 +a6 =- ，则当 Sn取最小值时， n 等于（）A6 B7 C8 D9（2010 全国卷 II 理 4 文 6）如果等差数列 n 中，a3 +a4 + 5 =12 ，那么 a1 + 2 +L + 7 =（）A14 B21 C28 D35 在等差数列 n中， a1 +a4 + 7 =39 ，a3 + 6 + 9 =27 ，则数列n 的前 9 项之和 S9 等于（）A66B99C144D297A 7n +45Bn n +abn整数的正整数 n 的个数是（）A2B3C4D5【解析】 A解法一（求通项）：设该数列的公差为 d，则 a4 + 6 =2a1 + d =2 -11) + d =-，解得

14、 d =2，n(n -1)22 =n 2 -12n =(n -6)2 -36，所以当 n =6时， S n取最小值解法二（利用等差中项和 Sn的单调性）：a4 + 6 =- a5 =-，又 a1 =-11， d =2； a6 =-1 0； S n在 n =6时取最小值6一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版1对于偶数项和有： S 2n =2n 1 2 n =n(an +an +1)；因此，如果在等差数列中等距抽取出若干项 an n +m n +2 m n +3m , L，所构成的数列依等差数列的连续 n项和，即 S n , S2 n n , S3 n -S2 n , L，构成的数列依然

15、是等差数列，且因此，如果在等比数列中等距抽取出若干项 an n +m n +2 m n +3m , L，所构成的数列依a 2 2 1 a aa 11 6a a aaa a aa a 已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ，且 n =，则使得 n 为3a 8 ( 8 6所以 S n =-11n +a 6 3 C+a + =3a =7 a2 B解法一：a1 +a4 + 7 =39 a4 =13a3 + 6 +a9 =27 a6 =9a +a2解法二：由 2(a2 +a5 +a8 ) =(a1 +a4 +a7 ) +(a3 +a6 +a9 ) =39 +27 =66

16、， a2 +a5 +a8 =33，因此 S 9 =99 Dabn解法一：由等差数列的性质： A2 n-1 =(2 n -1) an， B2n -1 =(2n -1)bn，a A 7(2n -1) +45 14n +38 7n +19bn B2n - (2 n - + 2 n +2 n +；解法二：等差数列的通项 an必定是 n不超过一次的多项式，故可设 an =an +b， bn =ln +m；a l2 2a = =对于任意 n成立；Bn n +2 a=7k ，l=k ，b=19k ，m=k，其中 k是比例系数；a 7 kn +19k 7 n +19bn kn +k n +；解法三：等差数列的

17、前 n项和 Sn必定是 n不超过二次的多项式且常数项为 0，A 7 n +45Bn n +n(7 n +45)n( n +3)，存在比例系数 k，使得 An =kn(7n +45)， Bn =kn(n +3)； an =An -An- =k (7n2 +45n) -k n -1)2 +45(n -1)= (14n +38)；bn =Bn -Bn- =k(n 2 + n) - - 2 +3(n - =k(2n +2)；anbnk(14n +38) 7 n +19k (2n +2) n +；解法四： 对于等差数列，其前 n项的平均值 n 也必定是等差数列，所以 n 和 n 都是等差n n n An

18、nA 7n +45Bn Bn n +3An一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版7+a +L +a =a3 4 5 4 =12， a4 =4， a1 2 7 4 =287(a1 +a7 )又 S9 =9a5，而 a5 = 4 6 =11， S9 =99先求 naaa n = 2n-1 =1) 3 11根据通项求得 An =a1 +L +an = n(n +1) +bn， Bn =b1 +L +bn = n(n +1) +mn；n(n +1) +bn=2An an +a+ b 7n +45n(n +1) +mn3 n =1而 n =31 7( k =1 3 k n 1) 1)( 1S A

19、 B数列；而这两者的通项又满足 n = n =，故存在比例系数 k使得 n =k (7n +45)，Bnn= (n +3)； An =kn(7n +45)， Bn =kn(n +3)；以下再求通项 an ，bn，同解法三a 7 n +19bn n +12n +1，因此anbn为整数等价于 n +1能整除 12，故 n +1 =2 ，3，4，6，12，n =1，2，3，5，11，共 5个数故选 D【点评】本题最易犯的常见错误就是将 7n +45与 n +3直接当作通项 a n ，bn来计算；这是由于对等差数列的实质没有掌握清楚所致【拓 2】设 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若S4S81

20、S3 S16）A310B13C19D18【解析】A解法一（常规法）：S 4a + dS8 8a1 +28d1 53 2 S4 =16d， S 8 =48d， S16 =16a1 +120 d =160d；S 48dS16 160d310解法二（利用等差数列的性质）：由等差数列 n ， S n是其前 n项和，故 S4 ，S8 -S4 ，S12 -S8 ，S16 -S12成等差数列；设 S4 =k，则 S8 =3k，从而 S8 - 4 =2k；于是 S 4 ，S 8 - 4 ，S12 - 8 ，S16 - 12四项分别为： k ，2k ，3k ，4k；故 S16 =S 4+ (S8 - 4 ) +

21、 (S12 -S8 )+(S16 -S12 ) =10k；S 3S16 10S S 1S8 S16 3【拓 3】（2010 西城二模理 7）等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a 7 0 ， a8 0 ，则下列结论正确的是（）A S 7 S 8B S15 0D S15 0【解析】C a8 0， S8 -S7 =a8 0，即 S8 S7，A错误； d =a8 -a7 0， a16 0， S16 -S15 =a16 0，即 S16 ， S15 =15a8 0，所以 C正确，D错误实际做题时，本题还可以用特殊值法来快速解决：直接设 a7 = , a8 =-，则 a1 =13， d =-，于

22、是 Sn =na1 + d =-2 +14n2所以当 n 7时， Sn递减；当 n =7时， Sn取最大值容易得知，只有选项 C正确8一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版k已求得 n =7 +1= ，则 8 等于（由 4 = 1=解得 a1 = d；6 8 = 8 =，故选 A【点评】本题忌错解 4 = 8 =，这是毫无根据的aSS S SSn(n -1)01 2 n1【例4】 （等比数列的性质） （2010 全国卷理文 4）已知各项均为正数的等比数列 n ，a1aa3 =5 ， a7 aa9 =10 ，则 a 4a 5a 6 =（）A 5 2 B7 C6 D 4 22n）A (n

23、-1)2B n2C (n +1)2D n(2n -1) 设等比数列 n 的公比 q 0 ， n =1, 2,L, 且 a5 2 n- =2 (n 3)，a则当 n1 时， log 2 a1 +log 2 a3 +L +log 2 a2 n- =（a 1 a( a2 3 3( a(所以 a2 8 =50，所以 a4 a5 a6 = a4 a6 ) 5 =a = a2 a8a3 1 )=506 =5 2由等比数列的性质知： a4 = 1a7， a5 =a2a8， a 26 = 3a 9；2 a log 2 1 2 3 2 2n-1 =1 +3 +L +(2n -1) = (1 +2n -1) =n

24、 2a +log a +L +log aa +log a +L +log a= (log a +log a log2 1 2 3 2 2n -1 2 1 2 2n -1 )= a +log a= 2 5 2n -5 2 (2 ) =n 2) = (a 1 6aq q5 2aa 1 an =-(-2) n-2或者 a n =2(-1)n -1S 4 =5S 2即 a1 +a2 +a3 +a4 =5(a1 +a2 )；由此得 a3 +a4 =4(a1 +a2 )；而由等比数列的性质有： a3 +a4 =q2 ( a1 +a2 )； q 2 =4或者 a1 +a2 =0；又由 q 1知： q =-2

25、或者 q =-1； an =a3 n- =2(- n- =- n-或者 an =a3 n- =2(- n- = - n-本题极易忽略 a1 + 2 =0的情形导致漏解，这是一个必须要注意的地方 C由等比数列 n 的性质知：连续 n项和 S n， S2 n -Sn， S3n -S2n，成等比数列，即 2，S 2n -2， 14 -S 2n， S 4n -14构成等比数列；由 (S2n -2)2 =2(14 -S2n )得 S 2n =6或 S2 n =-4（不合 an 各项为正的条件，舍去）；故 2，4，8， S4 n -14成等比数列， S 4n -14 =16， S4 n =30故选 C【铺

26、 1】在各项均为正数的等比数列 n 中，若 a5 6 =9 ，则 log 3 a1 +log 3 a2 +L +log 3 a10 =【解析】10 an 是等比数列， log3 an 是公差为 log3 q的等差数列；而 a5 6 =， log3 a5 +log3 a6 =log3 9 =2；102【拓 3】（2010 安徽理 10）设 an 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X ，Y ， Z ，则下列等式中恒成立的是（A X +Z =2YC Y 2 =XZ）BY ( -X )= ( -X )D Y ( -X )=X ( -X )【解析】D由等比数列的性质

27、知，等比数列的连续 n项和依然为等比数列，所以 X ,Y -X , Z -Y构成等比数列，即有： (Y -X )2 =X (Z -Y )；选项 B，D都是关于 Y (Y -X )的等式，而Y (Y -X ) =(Y -X )2 +X (Y -X )； Y (Y -X ) =X (Z -Y ) +X (Y -X ) =X (Z -X )；B，D中只有 D正确A，C容易举出反例实际做题中，本题还可以通过特殊值法快速选出答案等差数列中还有一类绝对值求和问题是比较常见的：an 是等差数列，求an 的前 n项和这类问题中由于 a1 d 0， d 0，则an 的前 n项和 Tn的求法如下：a | d |a

28、 | d |10 一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版q 3 2) 3 ( 2) 2 3 1) 3 2 1) 1q (aaa a log3 a1 +log3 a2 +L +log3 a10 = (log3 a1 +log3 a10 ) =5(log3 a5 +log3 a6 ) =10a 9Y Z ZY Z找出最后一个非负项 an0：记 n0 = 1 +1，其中 是取整符号，则a n0 =a1 0 1 - 1 | d | 0；+(n -1)d =a=a +n d =a| d | 分情形讨论：n ni= i= 2d；n+ai=1+2a -an(n -1)2对于 a1 0的情形可以类似讨

29、论本质上，这是属于分组求和的技巧关于分组求和的讨论参见下一讲【例5】 （等差数列的绝对值求和）在等差数列 an 中， a10 =23 ， a25 =-22 ， Sn 为其前 n 项的和 求使 S n 17时， an 0， Tn =2 S17 -Sn =3n2 -103n2+884-3n 2 +103n221 65 5【解析】解法一（分组求和）：因为题干已经知道了相邻两项的和，所以可以把相邻两项都组合到一起求和；+a +a+a6 6 65 5 5一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版11a n0 +1 1 0 1 - 1 +1 |d |n0时， Tn =ai =a1 2 +L +an 0

30、 -an 0 +1 -L -an=2a1 2 +L +2an0 -a1 2 -L -an0 -an0 +1 -L-an=2S n0 -S n =2n0 1 0 0 1 -a +n (n -1)d -na d 求 Tn =a1 2 +L +an 的表达式【解析】由 a10 =23， a25 =-22， d = 25 10 =-3； a1 =23 +9 3 =50；S n =103， n 当 n 17时， an 0， Tn =Sn =，(1 n 17，n N* )故 Tn = 23n -103n +884(n 18，n N* )【拓 2】在数列 an 中， a1 = ， an +an+1 = n+

31、1 (n N* ) ，求此数列的前 n 项和 Sn 的公式当 n =2k为偶数时 Sn =a1 2 3 +L +an= a1 + 2) +a3 +a4) +L + a2 k- 2 k )+L += 2 4 2 k+k= 11 25+a +a+a1 6 6 6 5 5 5 k -1- = +5 1251 1 1 1 1 1 1 11 1 1解法二（求出通项再求和，归纳法）：1 6 1 15 5 5 256 1 15 5 125，15n =1时通项已成立；假如对于 n =k成立，6 6 1 15 5 5 5所以通项对于 k +1也成立；由归纳法知通项对于所有自然数 n都成立1 1 1 1 115

32、5 5 4 5 解法三（求出通项再求和，递推）：6 1 15 5 56 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1 15 5 5以下求和同解法二【点评】在等比数列中需要分组求和的情形很少见本题难度并不高，重点之处也不在于练习分组求和，而在于解法的多样性和思维的发散性上面本题很好地说明了数列的各知识点并不是孤立的，而是有机的整体，为接下来的两讲：递推求通项以及数列求和作准备等差等比数列在大题中出现时，前面的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手：等差数列

33、的等价条件： an 是等差数列 12 一轮复习（下）第 1 讲提高-尖子-目标教师版6 1 - = 1 - 1 =1 -1 ；25 25 1 4 52 k 4 5n 1-当 n =2k -1为奇数时 Sn =a1 2 3 +L +an=a1 + a2 + 3) + a4 +a5) +L(a2 k- 2k- )+ L += + 3 5 2 k -1 6 1 53 25 1 1 -= +- 2k -2 = 1 - 2k -1 = 1 -5 20 5 4 5 4 5n 综上知， S n = - n (n N* )4 5 51先写出前几项： a1 =， a2 = 2 - =， a3 = 3 2 =-根

34、据前几项猜想 an = n；则 ak+1 = k+1 -ak = k +1 - k k +1；= Sn = + 2 +L+ n = - n +观察到 n +1正好可以配成 n n +1的结构； an +an+1 = n +1 a n+1 - n+1 = n n an - n =(-1)n -1 a1 - 1 -a n =-a n -而 a1 =，故 a1 - =0，所以 an - n 0；定义： nN*， an +1 -an =d， d为常数；等差中项： nN*， 2a n+ =a n +a n+；通项公式： nN*， an =kn +b， k ,b为常数；前 n项和公式： n N*， Sn =An2 +Bn， A, B为常数；S n 等比数列的等价条件： an 是等比数列 定义： nN*， an +1