中考数学复习专题二次函数与几何图形的综合有解析

1、 专题八二次函数与几何图 形的综合 毕节中考备考攻略 二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等. 1.二次函数与线段的长 (1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度； (2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值； (3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.

2、2.二次函数与图形的面积 (1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积； (2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用； (3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积. 3.二次函数与特殊三角形 (1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论； (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形 此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特

3、殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破. 5.二次函数与相似三角形 结合相似三角形判定 方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论. 中考重难点突破 二次函数与线段的长 例1(2018遂宁中考改编)如图,已知抛物线yax232x4的对称轴是直线x3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标； (2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴x3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的

4、解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标； (2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MNy轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果. 【答案】解：(1)抛物线yax232x4的对称轴是直线x3,322a3,解得a14, 抛物线的解析式为y14x232x4. 当y0时,14x232x40, 解得x12,x28. 点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)； (2)当

5、x0时,y14x232x44, 点C的坐标为(0,4). 设直线BC的解析式为ykxb(k0). 将B(8,0),C(0,4)代入ykxb,得 8kb0，b4，解得k12，b4， 直线BC的解析式为y12x4. 设点M的坐标为m，14m232m4,则点N的坐标为m，12m4, MN14m232m412m4 14m22m. 又MN3,14m22m3. 当14m22m0,即0m8时,14m22m3,解得m12,m26, 此时点M的坐标为(2,6)或(6,4). 同理,当14m22m0,即m8或m0时,点M的坐标为(427,71)或(427,71). 综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(

6、427,71)或(427,71).1.(2018安顺中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3). (1)若直线ymxn经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标. 解：(1)依题意,得 b2a1，abc0，c3， 解得a1，b2，c3， 抛物线的解析式为yx22x3. 令y0,则x22x30, 解得x11,x23, 点B(3, 0). 把B(3,0),C(0,3)代入ymxn,得 3mn0，n3，

7、 解得m1，n3， 直线BC的解析式为yx3； (2)设直线BC与x1的交点为M,连接AM. 点A,B关于抛物线的对称轴对称, MAMB, MAMCMBMCBC, 当点M为直线BC与x1的交点时,MAMC的值最小. 把x1代入yx3,得y2, M(1,2).二次函数与图形的面积 例2(2018达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0). (1)求抛物线的解析式； (2)连接OA,过点A作ACOA交抛物线于点C,连接OC,求AOC的面积. 【解析】(1)设交点式yaxx72,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式； (2)延长CA交y轴于点D,易得OA

8、2,DOA45,则可判断AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及SAOCSCODSAOD进行计算,进而得出AOC的面积. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为yaxx72. 把A(1,1)代入yaxx72,可得a25, 抛物线的解析式为y25xx72, 即y25x275x； (2)延长CA交y轴于点D. A(1,1),OAC90, OA2,DOA45, AOD为等腰直角三角形, OD2OA2,D (0,2). 由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为yx2

9、. 令25x275xx2,解得x11,x25. 当x5时,yx23,C(5,3), SAOCSCODSAOD122512214.2.(2018眉山中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为ya(x1)(x3). 把A(0,3)代入ya(

10、x1)(x3),得33a, 解得a1, 抛物线的解析式为yx24x3； (2)由题意知P(m,m24m3). OE平分AOB,AOB90, AOE45, AOE是等腰直角三角形, AEOA3, E(3,3). 易得OE的解析式为yx. 过点P作PGy轴,交OE于点G,则G(m,m), PGm(m24m3)m25m3. S四边形AOPESAOESPO E 123312PGAE 9212(m25m3)3 32m2152m 32m522758. 320, 当m52时,四边形AOPE的面积最大,最大值是758.二次函数与特殊三角形 例3(2018枣庄中考改编)如图,已知二次函数yax232xc(a0)

11、的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式； (2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标. 【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案； (2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标. 【答案】解：(1)二次函数yax232xc的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0), c4，64a12c0，解得a14，c4， 二次函数的表达式为y14x232x4； (2)A(0,4),C(8,0),

12、 AC428245. 以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则ANAC,故NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8,0)； 以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CNCA,故ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(845,0)或(845,0)； 作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NANC,故ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y14x232x40,解得x18,x22,此时N点坐标为(3,0). 综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为(8,0),(845,0),(3,0)或(845,0

13、).3.(2018兰州中考)如图,抛物线yax2bx4经过A(3,0),B(5,4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式； (2)求证：AB平分CAO； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边 的直角三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将A(3,0),B(5,4)代入yax2bx4,得 9a3b40，25a5b44，解得a16，b56， 抛物线的表达式为y16x256x4；(2)证明：AO3,OC4, AC5. 取D(2,0),则ADAC5. 由两点间的距离公式可知BD（52）2（40）25.C(0,4),B(5

14、,4),BC5. ADACBDBC. 四边形ACBD是菱形, CABBAD,AB平分CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F, 过点A,B分别作MAAB,MBAB,交对称轴于点M,M. 抛物线的对称轴为x52, AE115. A(3,0),B(5,4),tan EAB12. MAB90,tan MAE2.ME2AE11,M52，11. 同理,tan MBF2. 又BF52,FM5,M52，9. 综上所述,抛物线的对称轴上存在点M52，11 或52，9,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形.二次函数与四边形例4(2018河南中考改编)如图,抛物线yax26xc交x轴 于

15、A,B两点,交y轴于点C,直线yx5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式； (2)过点A的直线交直线BC于点M,当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；【解析】(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式； (2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断OCB为等腰直角三角形,继而得到OBCOCB45,则AMB为等腰直角三 角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,

16、解方程即可得到点P的横坐标. 【答案】解：(1)当x0时,y5,则C(0,5). 当y0时,yx50,解得x5,则B(5,0). 把B(5,0),C(0,5)代入yax26xc,得 25a30c0，c5，解得a1，c5， 抛物线的解析式为yx26x5； (2)令yx26x50,解得x11,x25, A(1,0). B(5,0),C(0,5),BAC90,OCB为等腰直角三角形,OBCOCB45. 又AMBC,AMB为等腰直角三角形, AM22AB22422. 以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, AMPQ,PQAM22,PQBC. 作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ45, PD2P

17、Q2224. 设P(m,m26m5),则D(m,m5). 当点P在直线BC上方时,PDm26m5(m5)m25m4,解得m11(舍去),m24； 当点P在直线BC下方时,PDm5(m26m5)m25m4,解得m35412,m45412. 综上所述,点P的横坐标为4,5412或5412. 4.(2018济宁中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3,0),B(1,0),C(0,3). (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B ,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)把A(3,0),B(

18、1,0),C(0,3)代入yax2bxc,得 9a3bc0，abc0，c3，解得a1，b2，c3， 该抛物线的解析式为yx22x3； (2)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形. 设直线BC的解析式为ykx3, 把B(1,0)代入,得k30,即k3, 直线BC的解析式为y3x3. 设Q(x,0),P(m,m22m3). 当四边形BCQP为平行四边形时,BCPQ,且BCPQ. 由B(1,0),C(0,3),得点P的纵坐标为3,即m22m33, 解得m17, 此时P(17,3)或P(17,3)； 当四边形BCPQ为平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形时,点P的纵坐标为3,即m

19、22m33,解得m0或m2,此时P(2,3). 综上所述,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(17,3)或(17,3),(2,3).二次函数与相似三角形例5(2018德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线yx1与抛物线yx2bxc交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.(1)求m,n的值及该抛物线的解析式； (2)连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由. 【解析】(1)把点A,B的坐标代入yx1求出m与n的值,确定点A

20、,B的坐标,然后代入yx2bxc求出b与c的值即可； (2)由点C,D的坐标易得直线BC的解析式为yx5,再由直线AB的解析式易得ABCD,因此ADCBAD.分类讨论：当DAQABD或DQAABD时,根据对应边成比例求出DQ的长,即可求出点Q的坐标. 【答案】解：(1)把点A(m,0),B(4,n)代入yx1,得m1,n3, A(1,0),B(4,3). yx2bxc经过A,B两点, 1bc0，164bc3，解得b6，c5， 该抛物线的解析式为yx26x5； (2)在线段CD上存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似. 由(1)中结果可知C(0,5),D(5,0), 直线CD的解析

21、式为yx5. 又直线AB的解析式为yx1, ABCD,BADADC. 设Q(x,x5)(0x5). 当ABDDAQ时,ABDAADDQ, 即3244DQ,解得DQ823, 由两点间的距离公式,得(x5)2(x5)28232,解得x73或x233(舍去),此时Q73，83； 当ABDDQA时,ABDQADDA1,即DQ32, (x5)2(x5)2(32)2, 解得x2或x8(舍去),此时Q(2,3). 综上所述,点Q的坐标为(2,3)或73，83.5.(2018深圳中考改编) 已知顶点为A的抛物线yax1222经过点B32，2.(1)求抛物线的解析式； (2)如图,直线AB与x轴相交于点M,与y

22、轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若OPMMAF,求POE的面积.解：(1)把点B32，2代入yax1222,解得a1, 抛物线的解析式为yx1222, 即yx2x74； (2)由(1)中结果得A12，2,F0，74. 设直线AB的解析式为ykxb,由点A,B的坐标,得212kb，232kb，解得k2，b1， 直线AB的解析式为y2x1, OE1,FE34. 若OPMMAF,则当OPAF时,OPEFAE,OPFAOEFE13443, OP43FA431202274253. 设点P(t,2t1),则OPt2（2t1）253, 即(15t2)(3t2)0,解得t1215,

23、t223. 由对称性知,当t1215时,也满足OPMMAF, t1,t2的值都满足条件. SPOE12OE|t|, 当t215时,SOPE121215115； 当t23时,SOPE1212313. 综上所述,POE的面积为115或13.毕节中考专题过关 1.(2018自贡中考改编)如图,抛物线yax2bx3过A(1,0),B(3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为2,点P(m,n)是线段AD上的动点. (1)求直线AD及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长？ 解：(1)把(1,0),(3,0)代入ya

24、x2bx3,得 ab30，9a3b30，解得a1，b2， 抛物线的解析式为yx22x3. 当x2时,y(2)22(2)33, 即D(2,3). 设直线AD的解析式为ykxb. 将A(1,0),D(2,3)代入,得 kb0，2kb3，解得k1，b1， 直线AD的解析式为yx1； (2)由(1)可得P(m,m1),Q(m,m22m3), l(m1)(m22m3), 即lm2m2(2m1), 配方,得lm12294, 当m12时,PQ最长.2.(2018菏泽中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0). (1)求该抛物线的解析式； (2

25、)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积. 解：(1)抛物线yax2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0), 25a5b50，ab50，解得a1，b4， 该抛物线的解析式为yx24x5； (2)设点P的坐标为(p,p24p5),如图. 由点A(0,5),B(5,0)得直线AB的解析式为yx5. 当xp时,yp5. OB5, SABP（p5）（p24p5）25 52p522254. 点P是直线AB下方的抛物线上一动点, 5p0, 当p52时,S取得最大值, 此时S1258,点P的坐标是52，354,

26、 即当点P的坐标为52，354时,ABP的面积最大,此时ABP的面积是1258.3.(2018泰安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2 bxc交x轴于点A(4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,2),连接AE. (1)求二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形？若存在,请求出所有P点坐标；若不存在,请说明理由. 解：(1)二次函 数yax2bxc经过点A(4,0),B(2,0),C(0,6), 16a4bc0，4a2bc0，c6，解得a34，b32，c6， 二次函数的表达式为y34x232x6； (2)在抛物线对

27、称轴上存在点P,使AEP为等腰三角形. 抛物线y34x232x6的对称轴为x1,设P(1,n). 又E(0,2),A(4,0), PA9n2,PE1（n2）2, AE16425. 当PAPE时,9n21（n2）2, 解得n1,此时P(1,1)； 当PAAE时,9n225, 解得n11,此时P(1,11)； 当PEAE时,1（n2）225, 解得n219,此时P (1,219). 综上所述,点P的坐标为(1,1),(1,11)或(1,219).4.(2018上海中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y12x2bxc经过点A(1,0)和点B0，52,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下

28、方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90,点C落在抛物线上的点P处. (1)求这条抛物线的表达式； (2)求线段CD的长； (3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果 点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 解：(1)把A(1,0),B0，52代入y12x2bxc,得 12bc0，c52，解得b2，c52， 这条抛物线的表达式为y12x22x52； (2)y12(x2)292, C2，92,抛物线的对称轴为直线x2. 如图,设CDt,则D2，92t. 由题意,得PDC90,DPDCt, P2t，92t. 把P2t，92t代入y12x22x52,可得 t10(舍去),t22. 线段CD的长为2； (3)由(2)易知P4，52,D2，52. 平移后,E点坐标为(2,2). 设M(0,m),则12|m|52228, m72, 点M 的坐标为0，72或0，72.5.(2018绵阳中考改编)如图,已知抛物线yax