23785数学奥林匹克题解C几[共7页]

1、C4-011 现有边长分别为3、4、5的三角形两个，边长分别为4、三角形为面，可以拼出多少个四面体？【题说】 1987年全国联赛一试题2（4）原题为填空题【解】 显然前两种三角形为直角三角形，第三种为钝角三角形将BCD绕CD旋转到面ACD上成为B1CD这时四边形AB1CD是等腰梯形，设它的高为h，易知所以AB1是以CD为轴的圆柱的母线，B在底面圆周上，所以ABAB1成四面体CBD与B-ADC为三面角不合因此AB应当为3，这样的四面体存在，事实上，先作BCA使AB=3，BC=5，AC=4，再作面BCA的垂3、4、5的三角形各两个拼成如果四面体ABCD的棱CD=5，AC=BD=4，BC=AD=3，

2、那么与上面同样的理由，AB5所以拼成的四面体只有一种C4-013 求以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数【题说】 1989年全国联赛一试题1（4）原题为选择题【解】 以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的三角形共有以长方体的每个顶点为直角顶点的三角形都是6个，所以在56个三角形中共有68=48个直角三角形，从而，锐角三角形的个数为8别解 对每个顶点，与它有棱相连的三个顶点组成锐角三角形C4-014 已知正三棱锥S-ABC的高SO=3，底面边长为6，过A点向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使AP/PO=8，求经过P点且平行于底面的截面的面积【题说

3、】 1989年全国联赛一试题4【解】 如图，平面SAO交BC于D，则SOAD，BC平面ADS，所以AO在平面ADS上设AOSO=P，SDA=，在SOD中，tan=SO/OD=AP=8AO/（8+1）=4=AP故P与P重合，PO=APcos=2设所求截面面积为S1，则S1/SABC=（SP/SO）2=1/9C4-015 若干棱长为2、3、5的长方体，依相同的方向拼成棱长为90的正方体求正方体的一条对角线贯穿小长方体的个数【题说】 1990年日本第1轮选拔赛题6【解】 因2、3、5的最小公倍数是30，故所求贯穿长方体的个数等于棱长为30的正方体的对角线贯穿长方体个数的3倍所以，棱长为90的正方体中

4、对角线贯穿小长方体的个数是66个C4-016 用4块腰长为a，上、下底边各为a、2a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片围成一个六面体，求这个六面体的体积【题说】 第一届（1990）希望杯高二二试题3（2）一是拟柱：如图，在面AAB内作AEAB，又作AH底面则在RtAEA中上、下底面面积S=S=2a2C4-017 设正三棱锥P-ABC的高为PO，M为PO的中点过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分体积之比【题说】 1991年全国联赛一试题3【解】 设过AM平行于BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F，则EFBC，又设D为BC的中点，连接PD交EF于G，则EFBC=

5、PGPD因为A到平面PBC的距离即A到平面PEF的距离，所以在PDA中，过O点作PD的平行线交AG于N，则PGGD=ONGD=AOAp=23，PGPD=25，故VP-AEF/VP-ABC=4/25因此，所求的上、下两部分体积之比为4/25C4-018 设l、m是两异面直线，在l上有A、B、C三点，且AB=BC过A、B、C分别作m的垂线AD、BE、CF，垂足分别为【题说】 1992年全国联赛一试题2【解】 过m作平面l，设l在内的射影为l，A、B、C在内的射影分别为A、B、C，则A、B、Cl在平面上，由三垂线定理，点A、B、C在直线m上的射影即分别为D、E、F从而ADBECF又设m与l交点为M在

6、l与l所成平面内，过M作MLl交l于L，则LM即为l与m的距离且LM AA BB CC设LM=x，则AA=BB=CC=x因为AB=BC，所以AB=BC，DE=EF若A、B、C在L同旁，则有2BE=AD+CF，从而若A、B、C不同在L同旁，则有方程无解C4-019 设a，b，c，d，e，f是一个给定的四面体的六条棱长，S是它的表面积，求证：【题说】 1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克（最后一轮）题2图所示的四面体ABCD，有将上面四式相加，得首页学科资源栏目学科教学资源初中数学数学题集数学奥林匹克竞赛题解精编C 平面几何C4 立体几何求解C4-020加到收藏夹添加相关资源C4-020 设四面体ABCD的体积为V，E为棱AD的中点，F在AB