高中数学 专题1.3.3 函数的最大（小）值与导数试题 新人教A版选修2-2

1、 1.3.3 函数的最大（小）值与导数 1函数的最值与导数 一般地，如果在区间上函数的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值 2求函数最值的步骤 求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的_； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 K知识参考答案： 1连续不断2极值 K重点 利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用 K难点 函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题 K易错 求最值时，易忽略函数的定义域 求函数的最值 求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进

2、行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中准确求出函数的极值是解题的关键需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论 已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值 【答案】见解析 【解析】由，有，所以 因此，当时， 当时，所以在区间上单调递增 因此在上的最小值是； 当时，令，得 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 于是，在上的最小值是 综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是 【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小

3、值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个 函数最值的应用 由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，的最小值是，求实数的值 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）， 当时，在上恒成立， 则的单调递减区间为； 当时，令，得，则的单调递减区间为 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，舍去 综上，得 【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论 恒成立问题 利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值

4、的重要应用要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立 已知函数 （1）求的极小值； （2）对恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）极小值为；（2） 【解析】（1），令，得 当变化时，与的变化情况如下表： 则的极小值为 （2）当时，恒成立 令，则，令，得 当变化时，与的变化情况如下表： 则，故实数的取值范围是 【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围 因未验根

5、而致误 已知在时有极值0，求常数a，b的值 【错解】因为在时有极值0且， 所以，即，解得或 【错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根 【正解】因为在时有极值0，且 所以，即， 解得或 当，时， 所以在上为增函数，无极值，故舍去 当，时， 当时，为增函数； 当时，为减函数； 当时，为增函数 所以在时取得极小值， 因此， 【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错 1定义在闭区间a，b上的函数yf(x)有唯一的极值点xx0，且y极小值f(x0)，则下列说法正确的是 A函数f(x)有最小值f(x0

6、)B函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0) C函数f(x)的最大值也可能是f(x0)D函数f(x)不一定有最小值 2函数f(x)x33x(|x|0， 所以h(x)在1，1上单调递增，有最大值和最小值 所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数故选D 5【答案】D 【解析】令，得或，当时，当时，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为故选D 6【答案】 【解析】，所以在上单调递减，在上单调递增，从而函数在上的最小值是 7【答案】 【解析】由题知，则，可得在区间上，为增函数，在上，为减函数，故在处取得最大值 8【答案】 【解析】， 令，得或或列表如下： 0 (0，1) 1 (1，2) 2 0

7、+ 0 0 + 增 减 增 3 由表可知，函数的最小值为 9【答案】（1）（2）最大值为 （2）由（1）得，其定义域为，所以， 令，解得，令，得 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为 10【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知， 当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意； 当时，因为，所以，解得或 综上，实数的取值范围为 （2）由题可得， 因为，所以函数的递增区间为，递减区间为 当时， 所以在上的最大值等于中最大的一个， 而，所以， 因为在上恒成立，所以， 即在上恒成立，所以 故实数的取值范围为 12【答案】D 【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单

8、调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D 13【答案】D 【解析】当时，令得，令，得，则在上的最大值为欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D 14【答案】 【解析】令，得或，当时，当时，所以在处取得最小值，即，所以，又，所以函数在1，5上的最大值为 15【答案】 【解析】，当时，当时，所以当时，取得最大值， 16【答案】 【解析】易知的最大值为，当时，减函数，当时，为增函数，所以的最小值为，使得成立，只需故实数的取值范围是 17【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当

9、时， （2）由得， 令得，令得， 在上单调递增，在上单调递减 当，即时，函数在区间1，2上是减函数， 的最小值是 当，即时，函数在区间1，2上是增函数， 的最小值是 当，即时，函数在上是增函数，在是减函数 又，当时，最小值是； 当时，最小值为 综上，当时，；当时， 18【答案】C 当时，函数取得最小值，为 设，当时，函数取得最小值，为， 若，函数与函数没有交点； 若，当时，函数与函数有一个交点， 即，解得故选C 19【答案】见解析 【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，利用导数易得，即得证 【解析】函数的定义域为，故 若，则当时，；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减 所以在处取得最大

10、值，最大值为 所以等价于，即 设g（x）=lnx-x+1，则当x（0,1）时，；当x（1，+）时， 所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减 故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0，所以当x0时，g（x）0 从而当a0时，即 20【答案】（1）见解析；（2） 【思路分析】（1）分，分别讨论函数的单调性；（2）分，分别解，从而确定a的取值范围 若，则由得 当时，；当时， 故在单调递减，在单调递增 （2）若，则，所以 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为 从而当且仅当，即时， 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为 从而当且仅当，即时 综上，的取值范围为

11、 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值 21【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为 【思路分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值 （2）设，则 当时，所以在区间上单调递减 所以对任意有，即，所以函数在区间上单调

12、递减 因此在区间上的最大值为，最小值为 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果 22【答案】（1）；（2）见解析 【思路分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立 【解析】（1）的定义域为 当时，单调递增，所以是的极小值点，故 综上， （2）由（1）知 ， 设，则当 时， ；当 时， 所以在上单调递减，在上单调递增 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1， 且当时，；当时，当时， 因为，所以是的唯一极大值点 由得，故 由可得 因为是在（0，1）的最大值点， 由，得，所以 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、