二项式定理通项公式的应用教案

1、二项式定理通项公式的应用教案 教学目标1加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数2通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力3进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法教学重点与难点认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式教学过程设计（一）引入新课师：请同学们回忆表示二项式定理的公式：（板书）师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b）n的二项展开r+1项，即（板书）展开式任意项的代表，所以我们可以利用它研究项数与项的有关问题（板书 二项式定理通项公式的应用）数如何解决？师：我们有了两个不同的答案，哪个对呢？我们来看通

2、项公式Tr+1项与a，b，n，r相关，其中a，b是二项式的两项，n是指数，r是项数减一，这是十分重要的当项数是4时，r+1=4，此时r=3，所以生：不是，因为a，b所含字母系数不是1，二项式系数一般不是这一项的系数师：那么如何求项的系数呢？生：利用通项公式，求出T4就能看出系数了师：我们有了方法，还要注意规范表述（板书）解：展开式的第4项师：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数另由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a）n与（a+b）n的对应项一般是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项即这一项具有

3、什么性质？生：不含x的项是常数项，x的指数是零师：求这一项用什么方法？生：把二项式展开，然后从中找出常数项师：这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都可操作呢？生：如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大了，比如n=100，根本不可能写出101项来师：那么如何处理更合理更简捷、更准确呢？生：应该利用通项公式师：对，因为通项公式是二项展开式每一项的代表，展开式某一项具有的性质，从这一项的表达式也能反映出来如何利用通项公式求常数项？生：知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项了师：现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数

4、项？（学生不语，摇头）师：看不出哪一些是常数项，怎么办？生：列关于项数的方程，求出项数师：如果没第r+1项是常数项我们要设法找到关于r的等量关系，得到关于r的方程，已知中有等量关系吗？生：就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该是所要的等量关系师：那么x的指数从哪里去找呢？生：当然还是利用通项公式师：通过研究我们找到了解决问题的思路先设第r+1项为不含x解出r后，再代回通项公式中，便可得到常数项，下面请同学们注意表述（板书）令24-3r=0，解得r=8所以展开式的第9项是不含x的项因此T9师：当得知第9项是常数项之后，求第9项的问题就与例1类似了归纳起来判断第几项是常数项

5、，运用了方程的思想；找到这一项的项数后，就实现了转化，体现了转化的数学思想例3 求（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，x4的系数师：问题提出后，我们看从什么地方入手？生：这个题与例2类似，也是不知道含x4的项是第几项，肯定得想办法求出项数师：例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式会求吗？生：（摇头）师：看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式1+x+x2我们能研究的是二项式（1-x）10，应该考虑如何转化为我们能处理的式子生：把（1-x）10看作单项式，将所给式子展开，得（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x

6、）10在这个多项式中，每一项都含有x4的项，分别求出相加就行了师：具体地说说如何求每项中含x4的系数生：（1-x）10的展开式中的x4的系数的求法跟例2一样，x（1-x）10的展开式中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x3的系数，同理x2（1-x）10的展开式中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x2的系数师：很好！将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x4的系数（板书）解：由于（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10，则（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的系数之和而（1-x

7、）10的展开式中含x4，x3，x2的项分别是第5项、第4项和第3项，则（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的系数分别是：所以（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为210-120+45=135师：通过转化，把不能直接使用二项式定理有关知识的问题转化为可以用二项式定理解决的问题，转化方式唯一吗？生：不唯一，还可以拿出一个1-x与1+x+x2相乘，得1-x3，只要讨论（1-x3）（1-x）9的展开式中x4的系数就可以了师：那么（1-x3）（1-x）9的展开式中x4的系数怎么求呢？生：和刚才一样，（1-x3）（1-x）9=（1-x）9-x3（1-x）9，只要求出（1-x）9展开式中x

8、4的系数减去（1-x）9的展开式中x的系数就行了师：在这里要特别小心x3（1-x）9前面是“”号，它也影响了整个展开式中x4的系数，为刚才求系数的方法，同学们再来计算一下这种变形下的展开式的x4的系数师：刚才我们对所给的式子施加了两种不同的变形，结果当然是一样的这两种方法哪一种更具一般性呢？生：第一种是一般方法，而第二种方法是特殊方法比如已知式子是（1-x+2x2）（1-x）10，只能用第一种方法去解决了师：我们看到，变形的方法不唯一，但思想都是转化，知识的灵活运用离不开转化思想作指导我们再来看例4这个展开式中是否存在常数项？如果有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项师：大家分析一下题目

9、，这是个开放性问题不知道常数项是否存在，如何处理？生：可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了师：那常数项就一定存在吗？生：不一定如果求出的r是大于等于0，且小等于n的整数，常数项就存在否则常数项就不存在师：其他同学有什么见解？生：所给的二项式跟前面几个例题中出现的二项式不一样，因为二项式的指数n没有给出来，没有n不容易判断哪一项是常数项师：很想知道n是多少，怎么得到？生：没有直接写出n等于多少的已知条件，只能运用方程的思想，找关于n的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求出n师：有了n之后，判断有无常数项常数项是多少，中间

10、项是多少的问题就转化为例1，例2的类型了（板书）解：二项展开式中：设展开式中第r+1项为常数项，则师：当二项式给定后，通项公式中含有Tr+1，n，r三个量，一般是已知n，r求Tr+1（或其系数）当n未知时，运用方程思想，找出关于n的方程，从而求出n，将问题转化（二）课堂练习负整数，则r=14所以整数项是第15项）2已知（a+b）20的展开式中，第4r项的系数与第r+2项的系数相等求第r-1项的系数师：通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的关键在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系要注意体

11、会方程的思想和转化思想的运用（三）课后作业1在（ax+1）7的展开式中，已知x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，且实数a1求实数a的值2已知（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+a50x50求a3的值3（1+2x）6的展开式中，第二项大于与它相邻的两项，求实数x的取值范围课堂教学设计说明这是一堂典型的习题课，通过对例题的研究、讨论、巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项展开式某些指定的项的基本技能，同时要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想在例题的配备上，我设计了一定的梯度第一层次是给出二项式，求指定的一项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可（如例1）；第二个层次（例2）则需自己创造代入a的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出r，此后转化为第一层次的问题；第三层次更突出了数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指