两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sincoscossin.cos()coscossinsin.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sincos.cos 2cos2sin22cos2112sin2.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan tantan()(1tantan).(3)1sin 2(sincos)2，1

2、sin 2(sincos)2，sincossin.4.函数f()asinbcos(a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)若tan ，则cos 2()A

3、. B. C. D.解析cos 2cos2sin2.答案D3.(2015重庆卷)若tan ，tan()，则tan 等于()A. B. C. D.解析tan tan()，故选A.答案A4.(2017广州调研)已知sin cos ，则sin2()A. B. C. D.解析由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B.答案B5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_.解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)s

4、in 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.答案考点一三角函数式的化简【例1】 (1)(2016合肥模拟)cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简：(0)_.解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .答案(1)D(2)cos 【训练1】 (1)2的化简结果是_.(2)化简：_.解析(1)原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为4，所以cos 40，且sin 4cos 4，所以原式2

5、cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式cos 2.答案(1)2sin 4(2)cos 2考点二三角函数式的求值【例2】 (1)2sin 50sin 10(1tan 10)_.(2)已知cos，则的值为_.(3)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)原式(2sin 50sin 10)sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)sin 2sin 2tan.由得0，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)(3)【训练2

6、】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D.21(2)已知sinsin ，0，则cos 的值为_.(3)已知cos ，cos()(0)，则tan 2_，_.解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)由sinsin ，得sin cos ，sin.又0，所以，于是cos.所以cos cos.(3)cos ，0，sin ，tan 4，tan 2.0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()，.答案(1)C(2)(3)考点三三角变换的简单应用【例3】 已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A，

7、1sin A)是共线向量.(1)求角A；(2)求函数y2sin2Bcos的最大值.解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A.又A为锐角，所以sin A，则A.(2)y2sin2 Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，此时B，ymax2.【训练3】 (2017合肥模拟)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)

8、，且f，求tan的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.f(x)的单调减区间为，kZ.(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B. C. D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D2.(1tan 17)(1tan 2

9、8)的值是()A.1 B.0 C.1 D.2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案D3.(2017西安二检)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2()A. B. C. D.解析因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故选C.答案C4.(2017河南六市联考)设acos 2sin 2，b，c，则有()A.acb B.abcC.bca D.cab解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案D5.(2016肇庆三模)

10、已知sin 且为第二象限角，则tan()A. B. C. D.解析由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21.tan 2，tan.答案D二、填空题6.(2016石家庄模拟)若cos，则sin的值是_.解析sinsincos 22cos2121.答案7.(2017南昌一中月考)已知，且cos，sin，则cos()_.解析，cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()cos.答案8.已知，且sin，则tan 2_.解析sin，得sin cos ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.答案三、解答题9.(2017淮海中学模拟

11、)已知向量a(cos ，sin )，b(2，1).(1)若ab，求的值；(2)若|ab|2，求sin的值.解(1)由ab可知，ab2cos sin 0，所以sin 2cos ，所以.(2)由ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|2，即12cos sin 0.又cos2sin21，且，所以sin ，cos .所以sin(sin cos ).10.设cos ，tan ，0，求的值.解法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由，0可得0，因此，.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，

12、0可得0，因此，.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016云南统一检测)coscoscos()A. B. C. D.解析coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案A12.(2017武汉调研)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为()A.，1 B.1，C.1，1 D.1，解析sin cos cos sin 1，sin()1，0，由，sin(2)sin(2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求的取值范围是1，1，故选C.答案C13.已知cos4sin4，且，则cos_.解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.答案14.(2016西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函