高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法学案 新人教B版选修4-5

1、11.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法读教材填要点1一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根x1，x2x0没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2小问题大思维1“若ax2bxc0(a0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b24ac0”是否正确？提示：当0时，易知ax2bxc0)的解集也是，从而满足的条件应为“a0且b24ac0”2当a0时，若方程ax2bxc0有两个不等实根，且0的解集是什么？提示

2、：借助函数f(x)ax2bxc的图象可知，不等式的解集为x|x3一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，就是二次函数yax2bxc(a0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2bxc0(a0)的解集，就是二次函数yax2bxc(a0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合可化为一元二次不等式的分式不等式的解法例1不等式0的解集为()Ax|1x2Bx|x2且x1Cx|1x2且x1Dx|x1或1x2思路点拨根据不等式性质把0转化为ab0，再求解精解详析因为不等式0，等价于(x1)(x1)(x2)0，所以该不等式的解集是x|x1或1x2答案D解分式不

3、等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解即0f(x)g(x)0或f(x)0.0或f(x)g(x)0.1解不等式：2.解：2，20.即0.0.x2或x5.即原不等式的解集为x|x2或x5.含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式：ax2(a1)x10，a0讨论精解详析若a0，原不等式可化为x11.若a0，即x1.若a0，原不等式可化为(x1)1时，由(*)式可得x1；(3)当0a1时，由(*)式可得1x.综上所述：当a1；当0a1时，解集为.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根

4、的讨论，即判别式0，0，0；第三层次是根的大小的讨论2若kR，求解关于x的不等式：.解：不等式可化为0.当k1时，x(k,1)(2，)；当k1时，x(2，)；当1k0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a元(a0为常数)(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解：(1)根据题意，得(100x)3 000(12x%)1003 000，即x25

5、0x0，解得0x50.又x0，故x的取值范围是(0,50(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则yx25(a1)23 000375(a1)2(0x50)若025(a1)50，即050，即a1，则当x50时，y取最大值答：当01时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大对应学生用书P6 一、选择题1已知全集UR，集合Mx|x22x30，则UM()Ax|1x3Bx|3x1Cx|x1 Dx|x3解析：因为Mx|1x3，全集UR，所以UMx|x3答案：D2关于x的不等式x2ax20a20任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是()A2 B1C0 D1解析：方程x

6、2ax20a20的两根是x14a，x25a，由关于x的不等式x2ax20a20的解集为x|2x0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则f(a)0对于任意的a1,1恒成立，有f(1)x25x60，且f(1)x23x20，联立解得x3.故选C.答案：C二、填空题5若不等式x22xm0在x1,0上恒成立，则m的取值范围是_解析：由mx22x知m只需小于ux22x，x1,0的最小值即可又u在1,0上递增，umin123.mm(x21)对满足2m2的所有m都成立，则

7、x的取值范围为_解析：(等价转化法)将原不等式化为：m(x21)(2x1)0.令f(m)m(x21)(2x1)，则原问题转化为当2m2时，f(m)0恒成立，只需即可，即解得x0的解集是x|3x0；(2)b为何值时，ax2bx30的解集为R?解：(1)由题意知1a0，即为2x2x30，解得x.所求不等式的解集为.(2)ax2bx30，即为3x2bx30.若此不等式解集为R，则b24330，6b6.10一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本R50030x元(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)由题意知，日利润ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500，由日利润不少于1 300元，得2x2130x5001 300，即x265x9000，解得20x45.故当该厂日产量在2045件时，日利润不少于1 300元(2)由(1)得，y2x2130x50022，由题意知，x为正整数故当x32或33时，y最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元11已知二次函数f(x)ax2x，若对任意x1，x2R，恒有