高中数学 第一单元 基本初等函数（Ⅱ）1.3.1 正弦函数的图象与性质（三）学案 新人教B版必修4

1、1.3.1正弦函数的图象与性质(三)学习目标1.掌握ysin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)的单调区间.知识点一正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是_.对于正弦函数ysin x，xR有：当且仅当x_时，取得最大值1；当且仅当x_时，取得最小值1.知识点二正弦函数的单调性观察正弦函数ysin x，x，的图象.思考1正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？思考2正弦函数的单调区间是什么？梳理正

2、弦函数ysin x的图象与性质解析式ysin x图象值域1,1单调性在_上递增，在_上递减最值当x_时，ymax1；当x_时，ymin1类型一求正弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间.反思与感悟用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数ysin，x的单调递减区间为_.类型二正弦函数单调性的应用命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196与cos 156；(2)cos 875与sin 98

3、0.反思与感悟用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin与sin；(2)sin与sin.命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知是正数，函数f(x)2sin x在区间，上是增函数，求的取值范围.反思与感悟此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D.(0,2类型三正弦函数的值域或最值例4求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值

4、范围，并说出最大值和最小值是什么.(1)ysin 2x；(2)ysin x2；(3)y(sin x1)22.反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如ysin(x)的三角函数，令tx，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出ysin t的最值(值域).(2)形如yasin2xbsin xc(a0)的三角函数，可先设sin xt，将函数yasin2xbsin xc(a0)化为关于t的二次函数yat2btc(a

5、0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如yasin x的函数的最值还要注意对a的讨论.跟踪训练4求函数ysin2xsin x1，xR的值域.1.函数f(x)sin的一个单调递减区间是()A. B.，0C. D.2.下列不等式中成立的是()A.sinsinB.sin 3sin 2C.sin sinD.sin 2cos 13.函数ysin，x的值域是()A. B.C. D.4.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.5.求函数y2sin(2x)，x(0，)的单调递增区间.1.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)

6、解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间.若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.答案精析问题导学知识点一1,12k，kZ2k，kZ知识点二思考1观察图象可知：当x时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1增大到1；当x时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由

7、1减小到1.推广到整个定义域可得当x(kZ)时，正弦函数ysin x是增函数，函数值由1增大到1；当x(kZ)时，正弦函数ysin x是减函数，函数值由1减小到1.思考2ysin x的增区间为，kZ，减区间为，kZ.梳理，kZ，kZ2k，kZ2k，kZ题型探究例1解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kz2k(kZ)2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，函数y2sin的单调递增区间为(kZ)跟踪训练1，例2解(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18

8、024)cos 24sin 66.0166690，且ysin x在0，90上是增函数，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(2)cos 875cos(720155)cos 155cos(9065)sin 65，sin 980sin(720260)sin 260sin(18080)sin 80，sin 65sin 80，sin 65sin 80，cos 875sin 980.跟踪训练2(1)sinsin (2)sin()sin()例3解由2kx2k(kZ)，得x(kZ)，f(x)的单调递增区间是，kZ.根据题意，得，(kZ)，从而有解得0.故的取值范围是(0，跟踪训练3A例

9、4解(1)当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数ysin 2x取得最大值，最大值为1；当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数ysin 2x取得最小值，最小值为1.(2)由于函数ysin x与函数ysin x2同时取得最大值或同时取得最小值因此，当x2k(kZ)时，函数ysin x2取得最大值，最大值为3；当x2k(kZ)时，函数ysin x2取得最小值，最小值为1.(3)设tsin x，则有y(t1)22，且t1,1，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了在闭区间1,1上，当t1时，|t1|最大，函数y(t1)22，取得最大值(11)226.由tsin x1，得x2k(kZ)，即当x2k(kZ)时，函数y(sin x1)22取得最大值6.在闭区间1,1上，当t1时，|t1|最小，函数y(t1)22取得最小值，最小值为2.由tsin x1，得x2k(kZ)，即当x2k(kZ)时，函数y(sin x1)22取得最小值2.跟踪训练4当堂训练1D2.D3.D4解1sin x1，当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymax5，此时自变量x的集合为