高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系学案（含解析）新人教A版必修2

1、42.1直线与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系提出问题“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离，(2)相切，(3)相交问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种，分别是相交、相切、相离问题3：如何判断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系导入新知1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共

2、点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000化解疑难判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算烦琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法直线与圆位置关系的判断例1若直线4x3ya0与圆x2y2100有如下关系：相交；相切；相离，试分别求实数a的取值范围解法一：(代数法)由方程组消去y，得25x28axa29000.(8a)2425(a2900)36a290 000.当直线和圆相交

3、时，0，即36a290 0000，50a50；当直线和圆相切时，0，即a50或a50；当直线和圆相离时，0，即a50.法二：(几何法)圆x2y2100的圆心为(0,0)，半径r10，则圆心到直线的距离d.当直线和圆相交时，dr，即10，50ar，即10，a50.类题通法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系活学活用1直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交B相离C相交或相切D

4、相切答案：C2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)答案：C切 线 问 题例2过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程解(12)2(43)2101，点A在圆外法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则方程为y4k(x1)，即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程y4或3x4y130.法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解消去y，得到关于x的一元二次方程(1k2)x2(2k22k4)xk22k40，则(2k22k4)

5、24(1k2)(k22k4)0，解得8k26k0，即k0或k，因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130.类题通法1过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.2过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解活学活用1直线xym0与圆

6、x2y2m相切，则m的值为()A0或2B2C. D无解答案：B2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案：D弦 长 问 题例3已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程解(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OCAB.由已知条件得直线的斜率为ktan 1351，直线AB的方程为y2(x1)，即xy10.圆心为(0,0)，|OC|.r2，|BC|，|AB|2|BC|.法二：(代数法)当135时，直线AB的方程为y2(x1)，即yx

7、1，代入x2y28，得2x22x70.x1x21，x1x2，|AB|x1x2|.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OPAB.kOP2，kAB，直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)活学活用求经过点P且被定圆x2y225截得的弦长为8的直线的方程解：当直线的斜率不存在时，过

8、点P的直线方程为x3，代入x2y225，得y14，y24，所以弦长为|y1y2|8，符合题意当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为yk(x3)，即kxy3k0.由已知，得弦心距为3，所以3，解得k，所以此直线的方程为y(x3)，即3x4y150.综上所述，所求直线的方程为x30或3x4y150.典例过点A(3,1)和圆(x2)2y21相切的直线方程是()Ay1Bx3Cx3或y1 D不确定解析由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由于直线与圆相切，所以d1，解得k0，所以切线方程为y1.当所求直线斜率不存在时，x

9、3也符合条件综上所述，所求切线方程为x3或y1.答案C易错防范1解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.2过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在成功破障已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为_答案：5x12y450或x3随堂即时演练1直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是()A相离B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心答案：C

10、2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1 BC D答案：C3(全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_答案：44过点P(1,2)且与圆C：x2y25相切的直线方程是_答案：x2y505已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程答案：(1)(2)7xy140或xy20. 课时达标检测一、选择题1直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆

11、心答案：D2过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2C. D2答案：D3在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为()A3 B2C. D1答案：B4由直线yx1上的点向圆C：x2y26x80引切线，则切线长的最小值为()A1 B2C. D3答案：C5已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40答案：B二、填空题6(山东高考)圆心在直线 x2y0上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截x 轴所得弦的长为2，则圆C 的标

12、准方程为_答案：(x2)2(y1)247已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_答案：(x1)2y228已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_答案：xy30三、解答题9已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：设圆心坐标为(3m，m)圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2，m1，所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.10已知圆C：(x1)2(y2)22，过点P(2，1)作圆C的切