高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运学案（含解析）新人教A版选修2-1

1、31.1空间向量及其加减运算提出问题李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算导入新知1空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模2几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|1或| |1相反向量与a长度相等而方向相反的

2、向量称为a的相反向量a相等向量方向相同且模相等的向量ab或 3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法 ab减法 ab加法运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)化解疑难1零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行2单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1.3方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量4空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量空间向量的概念辨析例1下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量

3、，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有解|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有，只有在平行四边形中才能成立故选B.答案：B类题通法(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键活学活用给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若向量a与向量b的模相等，则a，

4、b的方向相同或相反其中正确命题的序号是_解析：正确；正确，因为与的大小和方向均相同；不正确，因为|a|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定综上可知，正确命题为.答案：空间向量的加减运算例2已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).解(1) (如图)(2)()() (如图)类题通法在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可活学活用化简：()()解：法一：(统一成加法)原式

5、0.法二：(利用)原式()0.法三：(利用)设O是空间内任意一点，则原式()()()()0.典例在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简.解如图，()()().易错防范1在应用三角形法则求时易出错，误写成，其原因是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误2化简空间向量式的常用思路(1)统一成加法后利用空间多边形法则化简；(2)利用向量的减法法则，即利用化简；(3)利用，把各个向量转化成与空间的某一点有关的向量化简成功破障化简：_.解析：原式()().答案：随堂即时演练1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，由顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C与向

6、量相等的向量有，共3个2已知向量，满足|，则()A BC与同向 D与同向解析：选D由条件可知，点C在线段AB上，故选项D正确3式子()运算的结果是_解析：()().答案： 4下列命题中正确的是_(填序号)如果a，b是两个单位向量，则|a|b|；两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；若a，b，c为非零向量，且ab，bc，则ac；空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内解析：对于：由单位向量的定义即得|a|b|1，故正确；对于：共线不一定同向，故错；对于：正确；对于：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个

7、非零向量可以平移到同一平面内答案：5如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1) ；(2) .解：(1) .(2) ().向量，如图所示课时达标检测一、选择题1空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A2B3C3 D2解析：选B23.2设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D矩形解析：选A，.且|.四边形ABCD为平行四边形3在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有()()；()；()；().A1个 B2个C3个 D4个解析：选D根据空间向量的加

8、法法则及正方体的性质，逐一判断可知都是符合题意的4空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A0B0C0D0解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中，且，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有0.5已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量A1个 B2个C3个 D4个解析：选C利用图形及向量的运算可知是相等向量，是相反向量二、填空题6

9、如图所示，在三棱柱ABCABC中，与是_向量，与是_向量(用“相等”或“相反”填空)答案：相等相反7在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.解析：如图，()c(ab)cab.答案：cab8给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何向量a，b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为_解析：对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于，向量是不能比较大小的，故不正确；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确答案：三、解答题9.如图，在长、宽、高分别为AB4，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量；(3)试写出的相反向量解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个(2)因为长方体的