高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（2）学案 新人教A版必修5

1、3.2 一元二次不等式及其解法（2）学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一分式不等式的解法思考0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？答案等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式梳理一般的分式不等式的同解变形法则：(1)0f(x)g(x)0；(2)0(3)a0.知识点二一元二次不等式恒成立问题思考x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？答案x10在区间2,

2、3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集梳理一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图象全部在x轴上方区间a，b 是不等式f(x)0的解集的子集恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.类型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且

3、x0，解得x0(1.解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.类型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，则4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g

4、(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可综上所述，m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围解f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60.设g(m)m(x2x1)6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2x1(x)20.g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0，即3(x2x1)60，x2x

5、10，方程x2x10的两根为x，x2x10的解集为区间，即x的取值范围为.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪训练2当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx439.5，移项整理，得x29x7 11

6、00.显然0，x29x7 1100有两个实数根，即x188.94，x279.94.根据二次函数yx29x7 110的图象，得不等式的解集为x|x79.94在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”跟踪训练3在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x

7、km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任解由题意列出不等式S甲0.1x甲0.01 12，S乙0.05x乙0.005 10.分别求解，得x甲30，x乙40.由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任1若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m2答案D解析由题意，得m240，2m2.2若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x0恒成立时，k的取值范围为_答案解析由题意知0，即14k，即k.

8、4解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)原不等式等价于解得x1或x2，原不等式的解集为x|x1或x2(2)原不等式可改写为10，即0，(6x4)(4x3)0，xf(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立a1 Bx|x1Cx|x1或x2 Dx|x2或x1答案C解析当x2时，00成立当x2时，原不等式变为x10，即x1.不等式的解集为x|x1或x24a0，b0，不等式ba的解集为()A.B.C.D.答案A解析原不等式即故不等式的解集为.5已知集合M，Nx|x3，则集合x|x1等于()AMN BMNCR(MN) DR(MN)答案D解析0(x3)(x

9、1)0，故集合M可化为x|3x1，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案为D.6对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A1x3 Bx3C1x2 Dx2答案B解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)0恒成立且a1,1x3.二、填空题7不等式ax22ax(a2)0的解集是，则实数a的取值范围是_答案(1,0解析当a0时，20，解集为，满足题意；当a0时，a满足条件解得1a0的解集为(，1)(4，)，则实数a_.答案4解析0(x1)(xa)0，又原不等式的解集为(，1)(4，)，(x1)(x4)0，a4.9若不等式(a21)x2(a1)

10、x10的解集为R，则实数a的取值范围是_答案(，1解析当a210时，a1或a1.若a1，则原不等式为10，恒成立，满足题意若a1，则原不等式为2x10，即x，不合题意，舍去当a210，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a1.综上，a的取值范围是(，110方程x2(m3)xm0有两个正实根，则m的取值范围是_答案(0,1解析由题意得解得0m1.三、解答题11设函数f(x)mx2mx6m.(1)若对于m2,2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解(1)mx2mx6mm(x2x1)6，设g(m)m(x2x1)6，则由x2x120，所

11、以g(m)在2,2上递增，所以g(m)0等价于g(2)2(x2x1)60.所以所求的x的取值范围是1x2.(2)方法一因为f(x)m2m60在x1,3上恒成立，所以或或解得m.方法二要使f(x)m(x2x1)60在x1,3上恒成立，则有m在x1,3上恒成立而当x1,3时，设h(x)，所以m.12国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8x)%，“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(12x%)t，总收购款为2 400m(12x%)元，“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入2 400m8%78%.设税率调低后的税收总收入为y元，y2 400m(12x%)(8x)%m(x