高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质学案 北师大版选修2-1

1、3.2.2 抛物线的简单性质1了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念(重点)2掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质(重点)3会用顶点及通径的端点画抛物线的草图(难点)基础初探教材整理抛物线的简单性质阅读教材P74P79的部分，完成下列问题类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下通径|AB|2p1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线的离心率可以是.()(3

2、)抛物线的通径为p.()【解析】(1)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形(2)抛物线的离心率e1.(3)通径为2p.【答案】(1)(2)(3)2抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2B2C.D1【解析】抛物线y28x的焦点为F(2,0)，则d1.故选D.【答案】D3顶点在原点，对称轴为y轴且过(1,4)的抛物线方程是_【导学号：32550077】【解析】由题意知抛物线开口向上，设标准方程为x22py，12p4，2p，x2y.【答案】x2y.4求顶点在原点，焦点在x轴上，且通径长为6的抛物线方程【解】因为抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设所求抛物线的方程为y2mx(m0)因为通

3、径长为6，所以m6，故抛物线方程为y26x或y26x.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型抛物线的性质及应用(1)等腰直角ABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2【自主解答】设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由得A(2p,2p)B(2p，2p)，|AB|4p.SABO4p2p4p2.【答案】B(2)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|

4、QF|()A.B3C.D2【自主解答】如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有，|HQ|3.|QF|3.【答案】B(3)对称轴是x轴，焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为_【导学号：32550078】【自主解答】由题意知p4，对称轴为x轴，标准方程为y28x或y28x.【答案】y28x或y28x1求抛物线的标准方程的步骤可用如下框图表示：2需对焦点在直线上、焦点为椭圆的焦点、准线过椭圆的焦点等予以关注，此时，可能有两个焦点或准线方程，相应的抛物线的标准方程也就有两个再练一题1边长为1的等边三角形AOB，O为原点，A

5、Bx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2xDy2x【解析】当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示，OAB为等边三角形，且边长为1.A.设抛物线方程为y22px(p0)，2p，p，抛物线方程为y2x，同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y2x.【答案】C抛物线焦点弦问题斜率为1的直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长【精彩点拨】运用数形结合的方法，将焦点弦长|AB|转化为p与点A，B的横坐标之和【自主解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y22px(p0)中，|AB|p(x1x2)由于抛物线y24x中，p2，于

6、是|AB|x1x22.因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为yx1.将代入方程y24x得(x1)24x，即x26x10，解得x132，x232.于是|AB|x1x228.所以，线段AB的长是8.1抛物线y22px(p0)的焦点是F，点A(x0，y0)是抛物线上任一点，则|AF|x0.2与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点坐标的和还是交点坐标的差这是正确解题的关键再练一题2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x

7、1x28，则|AB|的值为()A10B8C6D4【解析】y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x228210.【答案】A抛物线中的最值问题(1)已知P是抛物线y24x上一点，F为抛物线的焦点，求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)求抛物线y4x2上一点，使它到直线l：4xy50的距离最短，并求此距离【精彩点拨】(1)中点A(1,1)在抛物线外，利用抛物线的定义和几何性质将其转化为两点间的最短距离问题(2)中的直线与抛物线相离，因此平移直线至与抛物线相切时得切点，切点到直线4xy50的距离最短【自主解答】(

8、1)抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.点P到直线x1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离，点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和等于点P到点A(1,1)的距离与点P到焦点F(1,0)的距离之和显然，当点P为直线AF与抛物线的交点时，和取得最小值，最小值为|AF|.(2)法一：设与直线4xy50平行的直线方程为y4xb，与抛物线方程y4x2联立并消去y，得4x24xb0.由(4)244(b)1616b0，得b1，切线方程为y4x1.再由4x24x10，得x，y411.故切点坐标为，最短距离为.法二：设P(x0,4x)是抛物线y4x2上任一点，则点P到直线4xy5

9、0的距离d当2x010，即x0时取“”号，此时P.点P即为所求的点，此时最短距离为.(1)若曲线与直线相离，在曲线上求一点到直线的距离的最小问题，可找与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点(2)利用抛物线的定义将问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决，这种方法在解题中有着广泛的应用，要深刻体会再练一题3已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标【解】将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.

10、由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2,2)探究共研型抛物线的特征探究1怎么快速、准确地画出抛物线的简图？【提示】画抛物线时，首先要确定抛物线的焦点和准线的位置，其次是确定过焦点且与抛物线的轴垂直的直线与抛物线两交点的坐标，依据这四个要素，即可画出较为准确的抛物线对于抛物线y22px(p0)，如图，A，B.探究2抛物线y22px(p0)是有界曲线吗？【提示】不是当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线y22px(p0)位于半个坐标平面内，且抛物线向右上方和右下方无限延伸，因此，抛物线是无界曲线抛物

11、线的焦半径与焦点弦公式探究1抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段称为焦半径，记作r|PF|.根据抛物线的定义，你能写出焦半径公式吗？【提示】焦半径公式如下：(1)y22px(p0)，rx0；(2)y22px(p0)，rx0；(3)x22py(p0)，ry0；(4)x22py(p0)，ry0.探究2设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)你能总结有关焦点弦的结论吗？【提示】(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)弦长|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，焦点弦最短，是通径，为2p；(4)弦长|AB|(为AB的倾斜角)；(5)以

12、AB为直径的圆必与准线l相切；(6).探究3过抛物线焦点的直线一定会与抛物线相交形成焦点弦吗？【提示】由于抛物线的焦点一定在抛物线的轴上，因此抛物线的轴也是过抛物线焦点的直线，此时二者只有一个交点，即抛物线的顶点，不存在焦点弦由此可知，与抛物线的轴平行或重合的直线和抛物线都只有一个交点探究4已知抛物线y2x，则弦长为定值1的焦点弦有几条？【提示】因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a2p，则焦点弦存在两条；若a2p，则焦点弦存在一条；若a2p，则焦点弦不存在由y2x知p，则通径长2p，因为1，所以弦长为定值1的焦点弦有两条已知抛物线y22px(p0)，直线l过抛物线焦点F与抛

13、物线交于A，B两点求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【精彩点拨】解答本题可设出A，B两点坐标，并用A，B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径【自主解答】设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点M.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p.设圆心M到准线x的距离为d，则d，d，即圆心到准线x的距离等于圆的半径以AB为直径的圆与抛物线的准线相切构建体系1过抛物线y24x的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|5，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有无穷多条D不存在【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p45，所以

14、这样的直线有两条【答案】B2将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n，则()An0Bn1Cn2Dn3【解析】结合图像可知，过焦点的斜率为和的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形【答案】C3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy24xDy28x【解析】设抛物线的方程为y22ax，根据题意知|2a|4，|a|2，a2.抛物线方程为y24x.【答案】B4若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为_【导学号：32550079】【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设P(x0，y0)，则yx0，|PA|，当且仅当x0时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值1.【答案】15定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标【解】如图，F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C、D、N为垂足，