高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.2 柱、锥、台的体积学案 北师大版必修2

1、7.2柱、锥、台的体积1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式.(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积.(难点)基础初探教材整理柱、锥、台的体积阅读教材P46“练习”以下至P48“例5”以上部分，完成下列问题.几何体体积说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体(S上S下)hS上， S下分别为台体的上、下底面积，h为高直角三角形两直角边AB3，AC4，以AB为轴旋转所得的几何体的体积为()A.12 B.16C.20 D.24【解析】旋转后的几何体为以AC4为底面半径，以3为高的圆锥，Vr2h42316.【答案】

2、B小组合作型柱体的体积如图1714是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图1714.求正三棱柱ABCA1B1C1的体积.图1714【精彩点拨】先利用主视图中的数据确定出正三棱柱底面边长及侧棱长，再代入柱体的体积公式求解.【自主解答】由三视图可知：在正三棱柱中，AD，AA13，从而在底面即等边ABC中，AB2，所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.计算柱体体积的关键及常用技巧：(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.(2)常用技巧：充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高.由于柱体的体积仅与它的底面积和高

3、有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.再练一题1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比. 【导学号：39292050】【解】设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a312.锥体的体积 一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积.【精彩点拨】已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积.【自主解答】如图所示，正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接S

4、H，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63，AHAE2.在ABC中，SABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH，V正三棱锥SABCSH99.三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可.再练一题2.如图1715，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高.若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积.图1715【解】因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB，所以HAHB.因为APBAD

5、B60，所以PAPB，HDHCtan 301.可得PH，等腰梯形ABCD的面积为SACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).探究共研型台体的体积探究1如图1716，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，能否求出几何体AEFA1B1C1的体积V1?图1716【提示】能.几何体AEFA1B1C1为三棱台，设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以SAEFS，V1hSh.探究2在上述问题中，V1V2的值是多少？【提示】V2ShV1Sh，故V1V275.如图1717，圆台

6、高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.图1717【精彩点拨】求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解.【自主解答】设上、下底面半径分别为r，R.A1D3，A1AB60，AD，Rr，BDA1Dtan 603，Rr3，R2，r，h3，V圆台(R2Rrr2)h(2)22()2321.求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台则把高放在等腰梯形中求解.“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.再练一题3.正四棱台的

7、高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求此四棱台的体积.【解】如图，设正棱台上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10) cm.在RtE1FE中，EF5(cm).E1F12 cm，斜高E1E13 cm，S侧4(xx10)1352(x5)，S表52(x5)x2(x10)22x272x360.S表512 cm2，2x272x360512，x236x760，解得x138(舍去)，x22，x1012，正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm，V(22122)12(414424)12688 cm3.1.已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角

8、形(如图1718)，则三棱锥B1ABC的体积为()图1718A. B. C. D.【解析】VSh3.【答案】D2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1719所示，则该三棱锥的体积是()图1719A.1 cm3 B.2 cm3 C.3 cm3 D.6 cm3【解析】该三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，所以V1231.【答案】A3.如图1720，在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为_.【导学号：39292051】图1720【解析】设棱柱的底面积为S，高为h，其体积VSh，则三角形AEF的面积为S，由于VAEFA1B1C1hSh，则剩余不规则几何体的体积为VVVAEFA1B1C1ShShSh，所以两部分的体积之比为VAEFA1B1C1V75.【答案】75(或57)4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_.【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.【答案】5.如图1721，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，V