2014届高考数学一轮复习讲义：10[1].3-二项式定理

1、,一轮复习讲义,二项式定理,忆 一 忆 知 识 要 点,二项展开式,二项式系数,通项,忆 一 忆 知 识 要 点,降幂,升幂,忆 一 忆 知 识 要 点,等距离,忆 一 忆 知 识 要 点,求展开式中的特定项或特 定项的系数,二项式系数和或各项的系 数和的问题,二项式定理的应用,13,混淆二项展开式的项与项数以 及二项式系数与项的系数致误,排列、组合,计数原理,计 数 原 理,二项式定理,组合,通项,二项式定理,二项式系数性质,分类计数原理,分步计数原理,排列,排列的定义,排列数公式,组合的定义,组合数公式,组合数性质,应 用,1. 二项式定理(公式),通项为第r+1项：,主要性质和主要结论：

2、,6.二项式定理的应用： 解决有关展开式中的指定项、近似计算、整除问题、证明某些组合数不等式、结合放缩法证明与指数有关的不等式.,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 二项式系数的性质,(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，即,“等距离”,(2)增减性与最大值：二项式系数 ，当_时,二项式系数是递增的；当_时，二项式系数是递减的. 当n是偶数时，中间的一项 _取得最大值; 当n是奇数时，中间两项_和_相等，且 同时取得最大值.,忆 一 忆 知 识 要 点,(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.,(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.,(3)各

3、二项式系数的和,3. 二项式系数的性质,忆 一 忆 知 识 要 点,解法一:,例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以x的系数为,【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,解法二：因为(x2十3x十2)5(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2),例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以(x2十3x十2)5 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的.,则它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.,所以x的系数为 240.,解法三:,所以含x的项为,例1. 求(x2十3x

4、十2)5的展开式中x的系数.,【1】 展开式中x4的系数是_.,144,【2】多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是 .,-120,补偿练习,【3】 展开式中的常数项是_.,补偿练习,【4】,的展开式中x2 的系数是_.,在(x-1)6的展开式中,含有x3项的系数为,原式,-20,补偿练习,【5】三项式转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107.,补偿练习,1 107,【6】 的展开式中 x6 项的系数.,解:,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以 x6 的系数为:,【点评】对于较为复杂的二项式与二项式乘积,利用两个通项之积比较方便运算.,补偿练习,解:设

5、,例2.已知,(3)因为 是负数,例2.已知,反馈演练,2.在二项式(x -1)11的展开式中,求系数最小的项的系数.,最大的系数呢？,解:设,展开式各项系数和为,【点评】求展开式中各项系数和常用赋值法:令二项式中的字母为1.,上式是恒等式,所以当且仅当 x = 1 时,【3】求(2x2-1)n的展开式中各项的系数和.,反馈演练,例3.近似计算: |x|1时，,【点评】要注意误差绝对值应小于精确度的一半,否则应该加项.,整除性的证明、求余数.,解：,例4. 用二项式定理证明 能被8整除.,能被8整除,能被8整除.,【1】如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后的那一天是

6、星期几？,所以 23n+37n5被7除所得余数为6 ,所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日,补偿练习,【2】求证 能被64整除.,补偿练习,反馈演练,【1】已知 且 则自 然数n的值为_.,8,-15120,【2】(x+3y-z)8中含x2y3z3的项的系数是_.,反馈演练,【3】已知(10+xlgx)5的展开式中第 4 项为106 ，则x的值是_.,【4】已知 且 则自 然数n的值为_.,8,反馈演练,5. 的值为 .,令x=1得,两式相加，得,令x=-1得,【1】 (07 江西)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2) +a2(x+2)2+a11(x+2)1

7、1, 则 a0+a1+a2+a11的值 为 .,-2,-1,杨 辉,详解九章算法中记载的表,数学趣苑,在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡在 17 世纪最早发现这一规律的。而在我国，南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着贾宪用此术。贾宪是我国 11 世纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就。但是，杨辉，贾宪的成就只有详解九章算法中有记载而此书早已失传，仅在永乐大典中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。,数学趣苑,永乐大典是极其珍贵的国宝， 然而1900 年，八年联

8、军侵占北京，把翰林院中的永乐大典残本掠走，运往英国。后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到永乐大典残本，拍下了记载杨辉三角内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上杨辉三角。但是可惜的是，永乐大典的残本至今未能回到祖国的怀抱。,杨辉风流贾宪骄，千年轶事话前朝。 永乐大典今何在，举头西望何时归。,数学趣苑,山东省临沂一中学 多媒体教学课件,天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败,1.换元法 2.待定系数法 3.定义法 4.数学归纳法 5.参数法 6.反证法 7.消

9、去法 8.分析与综合法 9.特殊与一般法 10.类比与归纳法,三、高中的解题方法和数学思想,(一).高中数学常用的解题方法。,（二）.高中数学常用的数学思想,1.数形结合思想 2.分类讨论思想 3.函数与方程思想 4.转化（化归）思想,三、高中的解题方法和数学思想,高中数学解题基本方法（简介）,1.配方法：配方法是对数学式子进行一种定向变形 （配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知 和未知的联系，从而化繁为简。合理运用“裂项”与 “添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出 现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有

10、 二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式 的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变 换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平 方公式(ab)2a22abb2,三、高中的解题方法和数学思想,2.换元法： 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变

11、为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法：局部换元、三角换元、均值换元等。,三、高中的解题方法和数学思想,3.待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列 出等式或方程。 应用范围：分解因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等， 使用待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条

12、件，列出一组含待定系数 的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问 题得到解决。,三、高中的解题方法和数学思想,4.定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。例如判断一个图像是否为函数，判断一个函数是否为指数函数或对数函数等等。,三、高中的解题方法和数学思想,5.数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，

13、在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，其步骤为： （1）证明命题在n1(或n)时成立； （2）假设在nk时命题成立，证明nk1时命题也成立。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。,三、高中的解题方法和数学思想,三、高中的解题方法和数学思想,6.参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数

14、，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。,7.反证法 反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，从而使命题获得了证明。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。,三、高中的解题方法和数学思想,三、高中的解题方法和数学思想,1.数形结合思想方法 中学数学的基本

15、知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。,三、高中的解题方法和数学思想,2.分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方

16、法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。,三、高中的解题方法和数学思想,引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。,三、高中的解题方法和数学思想,进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，其基本方法和步骤是： 1.要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围； 2.确

17、定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）； 3.对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。,三、高中的解题方法和数学思想,3.函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。,三、高中的解题方法和数学思想,函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。 常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。,三、高中的解题方法和数学思想,4.转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通