高数 泰勒公式PPT课件

1、.,1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十七讲,.,2,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第八节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第二章,.,3,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,若,是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式,来近似表示,.,4,由,误差,即为一次多项式,的高阶无穷小,试问,是否成立？即是否求出,特例：,.,5,即,为抛物线与,更为接近,问,类似方法可得,右边的多项式在0的附近可以无限的接

2、近于,如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差,公式呢?,.,6,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,.,7,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,.,8,.,9,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,.,10,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,.,11,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见

3、,误差,.,12,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,.,13,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,.,14,其中,.,15,泰勒多项式逼近,.,16,泰勒多项式逼近,.,17,五、小结,.,18,五、小结,.,19,五、小结,.,20,五、小结,.,21,.,22,.,23,.,24,.,25,.,26,.,27,.,28,.,29,.,30,.,31,.,32,.,33,.,34,.,35,.,36,.,37,类似可得,其中,.,38,其中,.,39,已知,其中,类似可得,.,40,1. 利用泰勒公

4、式求极限,例1 计算,解:,原式,三、泰勒公式的应用,.,41,例2 求,解：,用函数的麦克劳林展开式求此极限,.,42,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,例3. 求,.,43,例4 设,求,解,.,44,2. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,.,45,例5 设当,，有,证明,在,时，至少有一个实根。,在,处展开成一阶泰勒公式,因此,，根据连续函数零点,而,此,使得,的一个实根。,证明 将,定理可知，至少存在一点,为,2. 利用泰勒公式证明方程根的存在性,.,46,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,.,47,2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P139

5、P140 ),3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,.,48,作业,P141 1（2） ; 3；4 ; 5 ; 6； 7,.,49,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,.,50,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,.,51,4、设,，且,，证明,证明 由已知极限式得,利用泰勒公式有,从而,.,52,6. 设函数,在,上三阶可导, 且,设,使,证: 因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式 , 得,.,53,7. 设函数,在