函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)

1、第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上是增函数.区间叫的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：;难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2） 函数单调性的定义中有三个核心 函数为增函数,那么中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上是减函数.区间叫的单调减区间.注意：(1)减函数的等价式子：； (2)若函数为增函数，且.题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的

2、任意两个不同的自变量都有则（ ）A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数 变式训练：定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为_.易错点：例3.证明：函数在上是增函数.变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.变式训练：已知并用定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？易错点：区间端点的确认多个单调区间的写法（2）函数的单调减区间是上吗？例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).（3）. 例2.（直接法）求函数的单调

3、区间.例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间是( )A. B. C. D. 易错点：变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）（3）题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.(1) 证明：是上的增函数；(2) 若求证：.例2定义在上的函数满足下面三个条件：对任意正数，都有；当时，；.（1） 求的值；（2） 使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；（3） 求满足的的取值集合.题型四：函数单调性的应用（1） 利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.正向应用：逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大

4、小关系是_.变式训练：已知函数且对任意的，有设则的大小关系_.（2） 利用函数的单调性解不等式易错点：例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值范围.变式训练.设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围.（2015全国二）设函数成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. （2018全国一）设函数，则满足的x的取值范围是（ ）A BCD（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A.（1,2） B.（0，2） C.（0，1） D.变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.易错点：例2.若函数在上为增函数，则实数的

5、取值范围是_.易错点：例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点备注奇函数设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有D,且,则这个函数叫做奇函数关于原点中心对称函数是奇函数且在处有定义,则偶函数设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有,且,则这个函数叫做偶函数关于轴对称例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，则_例2（2017全国二） 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则_.例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，则+=_.2. 函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设

6、偶函数满足，则（ ）A. B.C. D.(2)对称变换；;奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.(3)翻折变换.例5（2010全国二）已知函数, 若均不相等，且则的取值范围是( ) A. B. C D.例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）A10个 B9个 C8个 D1个.例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A. B C D例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是_.(4)函数图象的几种对称关系满足图象关于直线为轴对称；例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足，若=

7、2，则（ ）A 50 B0 C2 D50图象关于为轴对称；函数与函数的图象关于直线对称. 如：和的图象，关于直线为轴对称.例10（2015全国二）已知函数则=_.二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数2.（2015全国一）已知函数，且，则=( )A.- B.- C.- D.-3.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且,则（ ）A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）5.（2017全国一）已知函数，则（ ）A. B.C. D.

8、6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）A B C D二、课后作业 1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是2.若是偶函数，则在上（ ）A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定3.已知函数若为奇函数，则_.4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的解析式_. 第四节：函数的零点一、知识梳理零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在定义域上一定存在零点.例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（