函数与导数主要知识及方法(文)

1、函数与导数的主要知识及方法一、主要知识：（一）映射与函数的概念； 1、映射与函数的概念: （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。（2）函数的定义：设A、B都是非空的数的集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。(3)象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做

2、b的原象。2、映射与函数的区别:函数概念中涉及的两个集合必须是非空实数集,而映射概念中所涉及的两个集合只要不是空集就行了.3、与映射有关的问题：（1）掌握由映射与函数的概念判断一个对应是否为映射或函数：（2）会求象和原象（3）会求从集合A到集合B的映射的个数。4、函数的三要素: 定义域对应法则值域 5、函数的表示法：解析法列表法图象法6、两个函数相同的条件：（1）定义域相同，（2）对应法则可化相同7、求函数定义域一般有三类问题：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；其求解依据是：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，有意义的条件是；（3）对数函数的真数必须大于零；

3、（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集。（6）与的定义域都与的定义域相同若函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是由各基本函数定义域的交集。警示：研究函数的问题一定要先求定义域，然后再定义域内去研究所给问题。（二）函数的性质1、单调性：1、(1)函数单调性的定义：设的定义域为,且,如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内是减函数。（2）设函数在某区间内可导，若，则为区间内的增函数；若，则为区间内的减函数.2、单调性的定义的等价形式：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数。 在是减函数。3、

4、求单调区间的方法：方法一：（1）求定义域，（2）在定义域内作图分析或在定义域内根据已知函数的单调性以及以下规律进行分析，这些规律是：（1）若f(x),g(x)在A内均为增函数（或减函数），则f(x)+g(x)在A内仍为增函数（或减函数）；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；的单调性与的单调性相同，的单调性与的单调性相反;与的单调性：当时都与的单调性相同，当时都与的单调性相反。方法二：（1）求定义域，（2）求；（3）解不等式，则不等式的解集与的定义域的交集为函数的增区间，增区间在定义域中的补集为函数的减区间。4、函数单调性的证明：（1）求；（2）在题目所给区间内判断的符号，若，则在所

5、给区间内为增函数，若，则在所给区间内为减函数。5、单调性的应用（1）比较大小：由自变量的大小及单调性可得函数值大小，其方法是：比较自变量的大小，判断函数的单调性，由单调性定义得出函数值大小。由函数值的大小及单调性可推出自变量的大小即若在区间a, b上是增函数，且，则如：是定义在上的递减区间，且0,a1)名称图过定点定义域值域性质y=ax(0,1)RR+a1增; 0a1减y=logax（1,0）R+R同上（1）比较两指(对)数大小:构造指(对)数函数,底不同则化同底,注意与1或0比较;（2）已知函数y=loga(x2+bx+c)定义域为R则0时增函数;a0时:增区间 ;减区间 ;当a0、轴与区间

6、关系、区间端点函数值符号;4、反比例函数:平移(中心为(b,a),一般地，的图象的对称中心是，渐近线是。5、函数是奇函数, （七）导数1、导数的定义:(点x0处导数);f(x)的导函数y=2、几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。Vs/(t)表示t 时刻瞬时速度,a=v(t)表示t时刻加速度。要注意“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不尽相同的，后者必为切点，前者未必是切点.3、基本公式: 法则: （八）极值与最值1、极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.2

7、、极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.3、极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最

8、大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）极值点一定是的根，但的根不一定是极值点4、最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，那么在点处有最大值.5最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，那么在点处有最小值.6、最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.（十）常用结论1.方程在时有解2、在时恒成立在时的最大值。3、在时恒成立在时的最小值。4、在时有解在时的最小值5、在时有解在时的最大值6、对一切实数恒正7、对一切实数恒负8、方程的根的个数即为函数的图象交点的个数9、根的存在定理：若函数在上连续且，则方程至少有一根在区间内；若函数在上连续且

9、单调且，则方程有且只有一根在区间内.二、主要方法：（一）求函数解析式的题型有：（求函数解析式必须注明定义域）1、已知函数类型，求函数的解析式时常用待定系数法；2、已知求或已知求：换元法、配凑法；（二）、函数的值域1、确定函数的值域的原则：定义域优先原则2、六类基本函数值域的求法：（1）一次函数单调性法；（2）二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的两端点、区间中点的相对位置关系；（3）反比例函数作图；（4）：先求定义域，设为A，令，在A内求的值域B，再作在B内的图象，由图象的y的值域。（4）分式函数的值域：化为反比例函数或的形式或求导。3、非基本

10、函数的值域化为基本函数或求导。（三）二次函数的区间根的分布问题利用不等式讨论一元二次方程解的问题常有两种题型，第一种是方程根的存在性问题，它的特点是已知方程在某一范围内的根是存在的，求参数的范围，其解题依据是方程在时有解；第二种是已知方程的根所在的范围，求参数的范围，通常有两种处理方法：一是讨论判别式的符号并应用根与系数的关系列出关于参数的不等式组，二是先画出符合题意的二次函数的图象，再由图象研究判别式的符号、轴与区间端点值的大小关系、区间端点值的函数值符号，最后把这几方面列成不等式组，解不等式组即可。（四）指、对数方程、指、对数不等式的解法1、指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，再

11、利用指数函数的单调性求解2、解决对数不等式、对数方程时，常要转化为同底数的形式，再利用对数函数的单调性求解，同时要重视考虑对数的真数、底数的范围（五）导数的应用1、单调区间的求法：定义域与的解集的交集是的增区间，定义域与的解集交集是的减区间。注：当（或）不可解时，可考虑对再次求导。2、求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义域并求导数求的单调区间（3）根据“若在两侧满足“先增后减”，则是的极大值点，是极大值；若在两侧满足“先减后增”，则是的极小值点，是极小值；如果在两侧单调性一致，那么在这个根处无极值“.写处的极值。3、利用导数求可导函数的最值步骤:求函数在上的最值;设函数在上连续，在内可导，则

12、求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值。求函数在内的最值设函数在内可导，则求在内的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值和；将的各极值与比较得出函数在内的最值注：、函数在内的最值若有，则最值必为某极值。、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.4、恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)任意xD，f(x)C；(2)任意xD，f(x)g(x)；(3)任意x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C；(4)任意x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.5、不等式恒成立问题的处理方法（

13、1）转换求函数的最值若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Bf(x)max（2）分离参数法将参数与变量分离，即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xD上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范围（3）转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yf(x)和图象在函数yg(x)图象上方；若不等式f(x)C；(2)xD，f(x)g(x)；（2）x1D，x2D，f(x1)g(x2)；（3）x1D，x2D，f(x1)g(x2)8存在

14、性问题处理方法（1）对于xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)f(x)g(x)，再等价为xD，h(x)max0，其中若g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.（2）对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1C2.（3）对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，等价于研究f(x1)ming(x2)min.9、对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题10、函数的切线（1）导数的几何意义:函数f(x)在x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在P(x0，f(x0)的切线斜率（2）函数的切线方程:对于函数f(x)(可导函数)，其在点P(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，其中切线斜率kf(x0)（3）公